《2025年胜券在握初中总复习数学人教版》

2. (吉林一模)如图，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 2$\sqrt{3}$，连接AC. 点P从点A出发，沿折线AB - BC向终点C运动，在AB上的速度为每秒2个单位长度，在BC上的速度为每秒$\sqrt{3}$个单位长度；过点P作PF⊥AC于点E，交线段AD或DC于点F，连接AP，AF. 设点P运动的时间为x秒(x＞0)，△APF与△ADC重合部分图形的面积为y(y＞0).
(1)当点P在AB上时，用含x的式子表示AE的长，并写出自变量x的取值范围；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当点E为PF的三等分点时，直接写出x的值.
　　　　

答案：
解:
(1)当点P在AB上时,根据题意有:AP=2x，
∵0＜AP≤AB,
∴0＜2x≤6,
∴0＜x≤3.
∵在矩形ABCD中,AB=6,BC=2$\sqrt{3}$,∠B=90°,
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠BAC=30°.
∵PF⊥AC,
∴在Rt△APE中,AE=AP×cos∠PAE=$\sqrt{3}$x,
即AE=$\sqrt{3}$x(0＜x≤3).
(2)
∵∠BAC=30°,∠BAD=90°,
∴∠DAC=60°,
即∠BCA=60°,∠ACD=30°.
∵AB=6,BC=2$\sqrt{3}$,
∴利用勾股定理可得AC=4$\sqrt{3}$
如图1,当0＜x≤1时,

由
(1)可知AE=$\sqrt{3}$x.
∵∠CAD=60°,
∴EF=tan60°·$\sqrt{3}$x=3x.
∴y=$\frac{1}{2}$AE·EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$x×3x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x².
如图2,当1＜x≤3时,

∵CE=4$\sqrt{3}$−$\sqrt{3}$x,∠ACD=30°,
∴EF=4−x.
∴y=$\frac{1}{2}$AE·EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$x×(4−x)=−$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2$\sqrt{3}$x.
如图3,当3＜x＜5时,

即BP=(x−3)×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$x−3$\sqrt{3}$,
即CP=5$\sqrt{3}$−$\sqrt{3}$x.
∵∠PCE=60°,
∴CE=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$−$\frac{\sqrt{3}}{2}$x,AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
∴EF=$\frac{5}{2}$−$\frac{1}{2}$x.
∴y=$\frac{1}{2}$AE·EF=$\frac{1}{2}$×($\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$)×($\frac{5}{2}$−$\frac{1}{2}$x)=−$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{15\sqrt{3}}{8}$.
综上，$y=\begin{cases}\frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}(0\lt x\leqslant1),\\-\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}+2\sqrt{3}x(1\lt x\leqslant3),\\-\frac{\sqrt{3}}{8}x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}x+\frac{15\sqrt{3}}{8}(3\lt x\lt5).\end{cases}$
(3)分情况讨论:
如图1,当0＜x≤1时,

由
(1)可知AE=$\sqrt{3}$x,AP=2x,
由
(2)可知EF=3x,∠BAC=30°,即EP=x.
∵EF=3EP,
∴点E不可能为PF的三等分点，此种情况舍去;
如图2,当1＜x≤3时,

由
(1)可知AE=$\sqrt{3}$x,AP=2x,
由
(2)可知EF=4−x,∠BAC=30°,即EP=x,
∵点E为PF的三等分点,
∴EF=2PE或2EF=PE,
即4−x=2x或2(4−x)=x,
解得x=$\frac{4}{3}$或x=$\frac{8}{3}$;
如图3,当3＜x＜5时,

由
(2)可知EF=$\frac{5}{2}$−$\frac{1}{2}$x,CP=5$\sqrt{3}$−$\sqrt{3}$x,∠PCE=60°,
即PE=$\frac{15}{2}$−$\frac{3}{2}$x,
即PE=3EF,
∴点E不可能为PF的三等分点，此种情况舍去.
综上，x的值为$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$.