《2025年胜券在握初中总复习数学人教版》

23. (长春模拟)长春神鹿峰的玻璃栈道已成为吉林省旅游度假的热门景点. 甲、乙两人在笔直的栈道上从相距$m$米的栈道两端$A$，$B$分别出发，匀速相向而行，甲、乙两人先后到达栈道的另一端驻足观景，甲的速度比乙快. 在此过程中，若两人各自行走的路程$y$(米)与乙出发的时间$x$(分)之间的函数关系如图所示.
(1)$m = $_______；
(2)求出甲行走的路程$y$与$x$之间的函数解析式；
(3)在两人驻足观景前，当两人行走的路程相同时，直接写出此时甲距栈道$B$端的距离.
　　

答案： 解:
(1)180
(2)设直线解析式为$y = kx + b$,
　把$(3,0)$，$(9,180)$代入得$\begin{cases}3k + b = 0\\9k + b = 180\end{cases}$，
　解得$\begin{cases}k = 30\\b = - 90\end{cases}$，
　
∴直线解析式为$y = 30x - 90(3\leqslant x\leqslant9)$.
(3)由图象可知，乙行走的速度为$\frac{180}{10}=18$(米/分),
根据题意得:$18x = 30(x - 3)$,
　解得$x = 7.5$,
　此时甲距栈道$B$端的距离为$180 - 30\times(7.5 - 3)=180 - 135 = 45$(米).

24. (黑龙江中考)如图，二次函数$y=\dfrac{1}{2}x^{2}+bx + c$的图象与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$C$的坐标为$(0,-3)$，连接$BC$.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点$P$是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当$\triangle BCP$的面积最大时，$BC$边上的高$PN$的值为_______.
　　　

答案：
解:
(1)把$(-1,0)$和$(0,-3)$代入得:
　　$\begin{cases}\frac{1}{2}-b + c = 0\\c = - 3\end{cases}$，
　　解得$\begin{cases}b = -\frac{5}{2}\\c = - 3\end{cases}$，
　
∴二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x - 3$.
(2)令$y = 0$，则$0=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x - 3$，解得$x_{1} = - 1$，$x_{2} = 6$，
　
∴点$B$的坐标为$(6,0)$，
　
∴$BC=\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3\sqrt{5}$.
　设直线$BC$的解析式为$y = mx + n$，将$B$，$C$两点的坐标代入，
　得$\begin{cases}n = - 3\\6m + n = 0\end{cases}$，
　解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n = - 3\end{cases}$，
　
∴直线$BC$的解析式为$y=\frac{1}{2}x - 3$，
　过点$P$作$PD\perp x$轴交$BC$于点$D$，如图.
　　　　　　　
　设点$P$的坐标为$(x,\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x - 3)$，
　则点$D$的坐标为$(x,\frac{1}{2}x - 3)$，
　
∴$PD=\frac{1}{2}x - 3-(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x - 3)=-\frac{1}{2}x^{2}+3x$，
　
∴$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}PD\cdot OB=\frac{1}{2}\times6(-\frac{1}{2}x^{2}+3x)=-\frac{3}{2}(x - 3)^{2}+\frac{27}{2}$，
　
∴$\triangle PBC$面积的最大值为$\frac{27}{2}$，
　
∴$PN=\frac{2S_{\triangle PBC}}{BC}=\frac{27}{3\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$.