《2025年胜券在握初中总复习数学人教版》

23. 如图，在△ABC中，已知∠BAC = 45°，AD⊥BC于点D. 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB，FC相交于点G.
(1)求证：四边形AEGF是正方形；
(2)若AD = 6，BD = 2，则DC = ________.

答案：
(1)证明:由题可知△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF,
　
∴AD=AE=AF,∠DAB=∠EAB,∠DAC =∠FAC.
　
∵∠BAC=45°,
　
∴∠EAF=∠EAB+∠DAB+∠DAC+∠FAC=∠BAC+∠BAC=90°.
　
∵AD⊥BC,
　
∴∠ADB=∠ADC=90°,
　
∴∠ADB=∠E=90°,∠ADC=∠F=90°,
　
∴四边形AEGF是矩形.
　　又
∵AD=AE=AF,
　
∴矩形AEGF是正方形.
(2)解:3

24. 有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作：
(1)为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小慧按如图1所示那样画了直线l，后量得∠1 = ∠2，则AB//CD，理由为____________________；
(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图2所示，若∠1 = 65°，请求出∠α的度数.

答案：
解:
(1)内错角相等,两直线平行
(2)如图，

　　由翻折的性质可知,∠3=∠4,
　
∵CD//AB,
　
∴∠α=∠3,
　
∴∠α=∠4.
　
∵∠1=∠2=65°,∠2+∠α+∠4=180°,
　
∴∠α=$\frac{1}{2}$(180° - 65°)=57.5°.