《2025年胜券在握初中总复习数学人教版》

26.【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE = 2，BE = 4，∠AEB = 90°，将直角三角形ABE绕点A按逆时针方向旋转α(0°≤α≤180°)，点B，E的对应点分别为点B'，E'.
【问题解决】
(1)如图2，在旋转的过程中，点B'落在了AC上，求此时CB'的长；
(2)若α = 90°，如图3，得到△ADE'(此时点B'与点D重合)，延长BE交DE'于点F.
①试判断四边形AEFE'的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
(3)在直角三角形ABE绕点A按逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段CE'长度的取值范围.

答案：
解:
(1)
∵AE = 2，BE = 4，∠AEB = 90°，
　
∴AB = $\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$.
　
∵四边形ABCD是正方形，
　
∴BC = AB = 2$\sqrt{5}$，∠ABC = 90°，
　
∴AC = $\sqrt{2}AB = 2\sqrt{10}$.
　　由旋转的性质得:AB' = AB = 2$\sqrt{5}$，
　
∴CB' = AC - AB' = 2$\sqrt{10}-2\sqrt{5}$.
(2)①四边形AEFE'是正方形,理由如下:
由旋转的性质得:AE'=AE,∠EAE'=α=90°,∠AE'D=∠AEB=90°.
∵∠AEF=180°−90°=90°,
∴四边形AEFE'是矩形,
又
∵AE'=AE,
∴四边形AEFE'是正方形.
②过点C作CG⊥BE于点G,如图.
　　　　　　
则∠BGC=90°=∠AEB,
∴∠CBG+∠BCG=∠CBG+∠ABE=90°,
∴∠BCG=∠ABE.
在△BCG和△ABE中,
　∠BGC=∠AEB,
　∠BCG=∠ABE,
　BC=AB,
∴△BCG≌△ABE(AAS),
∴CG=BE=4,BG=AE=2,
∴EG=BE−BG=4−2=2,
∴CE=$\sqrt{CG²+EG²}$ = $\sqrt{4^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}$.
(3)
∵点E'的运动轨迹是以点A为圆心,2为半径的半圆，
∴CE'的最小值为CE的长,即CE最小值=2$\sqrt{5}$,当E'落在CA的延长线上时,AE'=AE=2,
CE'最长=AC+AE'=2$\sqrt{10}$+2.
∴线段CE'长度的取值范围是2$\sqrt{5}$≤CE'≤2$\sqrt{10}$+2.