《2025年一本初中数学九年级下册华师大版》

10.已知二次函数$y = ax^{2}+k$的图象上有三点$A(-3,y_{1}),B(1,y_{2}),C(2,y_{3})$，且$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$，则$a$的取值范围是 （ ）
A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$a\geqslant0$
D.$a\leqslant0$

答案： A

11.在同一平面直角坐标系中，二次函数$y = ax^{2}+b$与一次函数$y = ax + b(a,b$都不为 0)的图象大致是 （ ）

答案： A

12.二次函数$y = ax^{2}+c$的图象与$y = 3x^{2}$的图象形状相同，开口方向相反，且经过点$(1,1)$，则该二次函数的关系式为 .

答案： $y=-3x^{2}+4$

13.将抛物线$y = 3x^{2}-2$绕顶点旋转$180^{\circ}$，所得的抛物线为 .抛物线$y = 3x^{2}-2$关于$x$轴对称的抛物线为 .

答案： $y=-3x^{2}-2$@@$y=-3x^{2}+2$

14.已知抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}+1$具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点$F(0,2)$的距离与到$x$轴的距离始终相等.如图，点$M$的坐标为$(\sqrt{3},3)$，$P$是抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}+1$上的一个动点.
(1)若$PF = 3$，则点$P$的坐标为 ；
(2)$PM + PF$的最小值是 .

答案： $(2\sqrt{2},3)$或$(-2\sqrt{2},3)$@@3

15.已知函数$y = 2x$的图象与抛物线$y = ax^{2}+3$相交于点$A(1,b)$.
(1)求$a$与$b$的值；
(2)若点$B(m,4)$在函数$y = 2x$的图象上，$C$是抛物线$y = ax^{2}+3$的顶点，求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)$a=-1$，$b = 2$
(2)$\frac{3}{2}$

16.如图，抛物线$y = ax^{2}-3$和$y = -ax^{2}+3$都经过$x$轴上的$A,B$两点，两条抛物线的顶点分别为$C,D$.当四边形$ACBD$的面积为 24 时，求$a$的值.

答案： 解：由抛物线$y = ax^{2}-3$和$y=-ax^{2}+3$， 得$D(0,3)$，$C(0, - 3)$，$\therefore CD = 6$. $\because S_{四边形ACBD}=24$，$AB\perp CD$，$\therefore\frac{1}{2}AB\cdot CD = 24$， $\therefore AB = 8$，$\therefore OA = OB = 4$，$\therefore B(4,0)$. $\because$点$B(4,0)$在抛物线$y=-ax^{2}+3$上，$\therefore a=\frac{3}{16}$.