《2025年一本初中数学九年级下册华师大版》

13. 如图，抛物线 $y = -x^{2}+bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 和 $B(3,0)$，与 $y$ 轴交于点 $C$．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图 1，若点 $F$ 在线段 $OC$ 上，且 $OF = OA$，经过点 $F$ 的直线在第一象限内与抛物线交于点 $D$，与线段 $BC$ 交于点 $E$，求 $\frac{DE}{EF}$ 的最大值；
（3）如图 2，若 $P$ 为抛物线的顶点，动点 $Q$ 在抛物线上，当 $\angle QCO=\angle PBC$ 时，请直接写出点 $Q$ 的坐标．

答案：
 13. 解：
(1) 抛物线的表达式为 $y=-x^{2}+2x + 3$
(2) 如图，过点 $D$ 作 $y$ 轴的平行线，交 $BC$ 于点 $N$。 在 $y=-x^{2}+2x + 3$ 中，令 $x = 0$，得 $y = 3$， 所以点 $C(0,3)$。 由点 $B$，$C$ 的坐标，得直线 $BC$ 的表达式为 $y=-x + 3$。 因为 $OF = OA = 1$， 所以点 $F(0,1)$，所以 $CF = 2$。 设点 $D(x,-x^{2}+2x + 3)$，则点 $N(x,-x + 3)$。 因为 $DN\parallel CF$，所以 $\frac{DE}{EF}=\frac{DN}{CF}=\frac{-x^{2}+2x + 3+x - 3}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{8}$。 因为 $-\frac{1}{2}<0$，所以 $\frac{DE}{EF}$ 有最大值，$\frac{DE}{EF}$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$。
(3) $(-1,0)$ 或 $(5,-12)$