《2025年一本初中数学九年级下册华师大版》

8.(2024·南充营山一模)已知二次函数$y=(x - 3)(x - 4)$，若关于$x$的方程$(x - 3)(x - 4)=m(m＜0)$的实数根为$\alpha$，$\beta$，且$\alpha＜\beta$，则下列不等式正确的是 （ ）
A.$\alpha＜3,\beta＜4$
B.$3＜\alpha＜\beta＜4$
C.$3＜\alpha＜4＜\beta$
D.$\alpha＜3＜\beta＜4$

答案： B

9.(2024·绵阳游仙区期末)二次函数$y = ax^{2}+bx$的图象如图所示，若一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有实数根，则$c$的最小值为______.

答案： -4

10.(2024·成都郫都区期末)抛物线$y = x^{2}-x - 1012$与$x$轴交于$(\alpha,0)$，$(\beta,0)$两点，则$\alpha^{2}+\beta^{2}-1=$_______.

答案： 2024

11.若二次函数$y = ax^{2}-2ax + c(a\neq0)$的图象经过点$(-1,0)$，则方程$ax^{2}-2ax + c = 0$的解为____________.

答案： $x_1 = -1$，$x_2 = 3$

12.抛物线$y = ax^{2}-bx + c$经过$(-1,0)$，$(3,0)$两点，则关于$x$的一元二次方程$a(x + 1)^{2}-b(x + 1)+c = 0$的解是____________.

答案： $x_1 = -2$，$x_2 = 2$

13.已知函数$y = 2(x - m)(x - m - 3)(m$为常数).
(1)求证：不论$m$取何值，该函数图象与$x$轴总有两个公共点；
(2)已知该函数图象与$x$轴交于点$A$，$B$，与$y$轴交于点$C$，若$\triangle ABC$的面积为 12，求$m$的值.

答案： 解：
(1)证明：
∵$y = 2(x - m)(x - m - 3)=2x^2 - 2(2m + 3)x + 2m^2 + 6m$，
∴$\Delta = b^2 - 4ac=[-2(2m + 3)]^2 - 4×2×(2m^2 + 6m)=36＞0$，
∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点.
(2)当$y = 0$时，$2(x - m)(x - m - 3)=0$，
∴$x = m$或$x = m + 3$. 当$x = 0$时，$y = 2m^2 + 6m$. 不妨令点A在点B左侧.
∴$A(m,0)$，$B(m + 3,0)$，$C(0,2m^2 + 6m)$，
∴$AB = 3$.
∵$\triangle ABC$的面积为12，
∴$\frac{1}{2}×AB×|y_C| = 12$，即$\frac{1}{2}×3×|2m^2 + 6m| = 12$，
∴$m^2 + 3m = 4$或$m^2 + 3m = -4$. 当$m^2 + 3m = 4$时，解得$m = -4$或$m = 1$； 当$m^2 + 3m = -4$时，方程无解. 综上，m的值为-4或1.

14.某兴趣小组对函数$y=-x^{2}+2|x|$的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
自变量$x$的取值范围是全体实数，$x$与$y$的几组对应值列表如下：
|$x$|$\cdots$|$-3$|$-\frac{5}{2}$|$-2$|$-1$|$0$|$1$|$2$|$\frac{5}{2}$|$3$|$\cdots$|
|$y$|$\cdots$|$-3$|$-\frac{5}{4}$|$0$|$1$|$0$|$1$|$0$|$-\frac{5}{4}$|$-3$|$\cdots$|
(1)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.

(2)观察函数图象，当$y$随$x$的增大而减小时，$x$的取值范围是____________.
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与$x$轴有____个交点，所以对应方程$-x^{2}+2|x| = 0$有____个实数根；
②方程$-x^{2}+2|x|=-1$有____个实数根；
③若关于$x$的方程$-x^{2}+2|x|=n$有 4 个实数根，则$n$的取值范围是_________.

答案：
 解：
(1)该函数图象的另一部分如图所示. 

 
(2) $-1 < x < 0$或$x > 1$
(3)①3 3 ②2 ③$0 < n < 1$