《2025年一本初中数学九年级下册华师大版》

11.（2024·泸州）如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线 $y = ax^{2}+bx + 3$ 经过点 $A(3,0)$，与 $y$ 轴交于点 $B$，且关于直线 $x = 1$ 对称．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）当 $-1\leqslant x\leqslant t$ 时，$y$ 的取值范围是 $0\leqslant y\leqslant2t - 1$，求 $t$ 的值．
（3）点 $C$ 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $AB$ 于点 $D$，在 $y$ 轴上是否存在点 $E$，使得以 $B$，$C$，$D$，$E$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．

答案：
11. 解：
(1) 抛物线的表达式为 $y=-x^{2}+2x + 3$
(2) $\frac{5}{2}$
(3) 存在。 由抛物线的表达式，知点 $B(0,3)$。 如图，当 $BC$ 为菱形的对角线时，对应菱形为 $BDCE$。所以 $CD = BD$。 由点 $A$，$B$ 的坐标，得直线 $AB$ 的表达式为 $y=-x + 3$。 设点 $C(x,-x^{2}+2x + 3)$，则点 $D(x,-x + 3)$， 所以 $CD=-x^{2}+2x + 3-(-x + 3)=-x^{2}+3x$，$BD=\sqrt{2}x$， 所以 $-x^{2}+3x=\sqrt{2}x$， 解得 $x = 3-\sqrt{2}$ 或 $x = 0$（舍去）， 所以 $BD=\sqrt{2}x=3\sqrt{2}-2$，即菱形的边长为 $3\sqrt{2}-2$。 如图，当 $BD$ 为菱形的对角线时，对应菱形为 $BCDE'$。所以 $BC = CD$。 同理可得，$x^{2}+(-x^{2}+2x)^{2}=(-x^{2}+3x)^{2}$， 解得 $x = 2$ 或 $x = 0$（舍去）， 所以 $CD=-2^{2}+3\times2 = 2$，即菱形的边长为2。 综上，菱形的边长为 $3\sqrt{2}-2$ 或2。