《2025年一本初中数学九年级下册华师大版》

8.（2024·遂宁）如图，二次函数 $y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$ 的图象与 $x$ 轴分别交于点 $A(-1,0)$，$B(3,0)$，与 $y$ 轴交于点 $C(0,-3)$，$P$，$Q$ 为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当 $P$，$C$ 两点关于抛物线的对称轴对称，$\triangle OPQ$ 是以点 $P$ 为直角顶点的直角三角形时，求点 $Q$ 的坐标．
（3）设点 $P$ 的横坐标为 $m$，点 $Q$ 的横坐标为 $m + 1$，如图，连结 $OP$，$OQ$，$PQ$，试探究：$\triangle OPQ$ 的面积 $S$ 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

答案：
 8. 解：
(1) 二次函数的表达式为 $y = x^{2}-2x - 3$。
(2) $Q(\frac{2}{3},-\frac{35}{9})$
(3) 存在。 设点 $P(m,m^{2}-2m - 3)$，则点 $Q(m + 1,(m + 1)^{2}-2(m + 1)-3)$。 如图，延长 $PQ$ 交 $x$ 轴于点 $H$。 由点 $P$，$Q$ 的坐标，得直线 $PQ$ 的表达式为 $y=(2m - 1)x-m^{2}-m - 3$。 令 $y = 0$，得 $x=\frac{m^{2}+m + 3}{2m - 1}$，即 $OH=\frac{m^{2}+m + 3}{2m - 1}$。 因为 $S = S_{\triangle OHP}-S_{\triangle OHQ}=\frac{1}{2}OH\times(y_{Q}-y_{P})=\frac{1}{2}\times\frac{m^{2}+m + 3}{2m - 1}\times[(m + 1)^{2}-2(m + 1)-3-m^{2}+2m + 3]=\frac{1}{2}(m^{2}+m + 3)=\frac{1}{2}(m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{8}\geqslant\frac{11}{8}$， 所以当 $x=-\frac{1}{2}$ 时，$S$ 存在最小值，最小值为 $\frac{11}{8}$。