《2025年一本初中数学九年级下册华师大版》

4.（2024·德阳）如图，抛物线 $y = x^{2}-x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B$，与 $y$ 轴交于点 $C$．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当 $0\lt x\leqslant2$ 时，求函数值 $y$ 的取值范围；
（3）将抛物线的顶点向下平移 $\frac{3}{4}$ 个单位得到点 $M$，$P$ 为抛物线的对称轴上一动点，求 $PA+\frac{\sqrt{5}}{5}PM$ 的最小值．

答案： $y = x^{2}-x - 2$@@$-\frac{9}{4}\leqslant y\leqslant0$@@$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

5.（2024·达州模拟节选）如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}x^{2}+mx + n$（$m$ 为常数）与 $x$ 轴交于点 $A$，$B$（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），$OA = 1$，经过点 $A$ 的一次函数 $y = kx + b(k\neq0)$ 的图象与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$，且与抛物线的另一个交点为 $D$，点 $D$ 的坐标为 $(4,\frac{5}{2})$．
（1）求抛物线和一次函数的表达式；
（2）抛物线上的动点 $E$ 在一次函数的图象下方，连结 $AE$，$CE$，求 $\triangle ACE$ 面积的最大值及此时点 $E$ 的坐标．

答案： $y=\frac{1}{2}x^{2}-x-\frac{3}{2}$@@$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$@@$\frac{25}{16}$@@$(\frac{3}{2},-\frac{15}{8})$