《2025年一本初中数学九年级下册华师大版》

[变式] 若点$(m,n)$在抛物线$y=-x^{2}$上，则下列各点一定在该抛物线上的是 （ ）
A.$(m,-n)$
B.$(-m,n)$
C.$(-m,-n)$
D.$(n,m)$

答案： B

10.当$ab＞0$时，函数$y = ax^{2}$与$y = ax + b$的图象大致是 （ ）

答案： D

11.下列四个二次函数：①$y = x^{2}$；②$y=-2x^{2}$；③$y=\frac{1}{2}x^{2}$；④$y = 3x^{2}$.其中抛物线的开口从大到小的排列顺序是 __________.（填序号）

答案： ③①②④

[变式] 已知二次函数①$y = ax^{2}$，②$y = bx^{2}$，③$y = cx^{2}$，④$y = dx^{2}$的图象如图所示，则$a$，$b$，$c$，$d$的大小关系为 __________.（用“＞”连接）

答案： $a ＞ b ＞ d ＞ c$

12.函数$y = 2x^{2}$与$y=-2x^{2}$的图象关于 _______对称，也可以认为抛物线$y=-2x^{2}$是由抛物线$y = 2x^{2}$绕 _______旋转 _______得到的.

答案： $x$轴@@原点@@$180^{\circ}$

13.已知点$(x_{1},-7)$和点$(x_{2},-7)$均在抛物线$y = ax^{2}$上，则当$x=x_{1}+x_{2}$时，$y =$____.

答案： 0

14.如图，正方形$OABC$的边长为$2$，$OC$与$y$轴正半轴的夹角为$30^{\circ}$，点$A$在抛物线$y = ax^{2}(a＜0)$上，则$a$的值为 ________.

答案： $-\frac{1}{3}$

15.已知$y=(k + 2)x^{k^{2}+k - 4}$是二次函数，且当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大.
（1）求$k$的值；
（2）如果点$P(m,n)$是此二次函数的图象上一点，且$-2\leqslant m\leqslant1$，求$n$的取值范围.

答案： 解：
(1) $\because y=(k + 2)x^{k^{2}+k - 4}$ 是二次函数， $\therefore k + 2\neq0$ 且 $k^{2}+k - 4 = 2$， 解得 $k_{1}=-3$，$k_{2}=2$. $\because$ 当 $x ＜ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大， $\therefore$ 二次函数的图象开口向下，即 $k + 2 ＜ 0$， $\therefore k=-3$.
(2) 由
(1)，得二次函数的关系式为 $y = -x^{2}$， $\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为 $y$ 轴，顶点为原点. 当 $x=-2$ 时，$y=-4$；当 $x = 1$ 时，$y=-1$. $\therefore n$ 的取值范围是 $-4\leqslant n\leqslant0$.

16.如图，正方形四个顶点的坐标依次为$(1,1)$，$(3,1)$，$(3,3)$，$(1,3)$.若抛物线$y = ax^{2}$与正方形有公共点，则实数$a$的取值范围是 ________.

答案： $\frac{1}{9}\leqslant a\leqslant3$

17.如图，在平面直角坐标系中，点$A(2,4)$在抛物线$y = ax^{2}$上，过点$A$作$y$轴的垂线，交抛物线于另一点$B$，点$C$，$D$在线段$AB$上，分别过点$C$，$D$作$x$轴的垂线交抛物线于$E$，$F$两点.当四边形$CDFE$为正方形时，线段$CD$的长为 __________.

答案： $-2 + 2\sqrt{5}$