《2025年一本初中数学九年级下册华师大版》

10.已知抛物线$y=(x + a)^2 + a - 1$的顶点在第三象限，则$a$的取值范围是 （ ）
A.$a＜-1$
B.$-1＜a＜1$
C.$0＜a＜1$
D.$-1＜a＜0$

答案： C

11.(2024·重庆九龙坡区期中)已知点$A(-1,y_1)$，$B(2,y_2)$，$C(5,y_3)$都在二次函数$y = -2(x - 3)^2 + a$的图象上，那么$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系为 （ ）
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_2＞y_1$

答案： C

12.如果二次函数$y=(x + h)^2 + k$的图象经过点(-2,0)和(4,0)，那么$h$的值为______.

答案： -1

13.将抛物线$y=(x + 3)^2$向下平移 1 个单位，再向右平移________个单位后，得到的新抛物线经过原点.

答案： 2或4

14.如图，抛物线$y=(x + 1)^2 + k$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C(0,-3)$，$M$是抛物线上一动点，且在第三象限.
(1)抛物线的对称轴是________________，$k =$______.
(2)当点$M$运动到何处时，$\triangle AMB$的面积最大? 求出$\triangle AMB$的最大面积及此时点$M$的坐标.

答案： 直线$x = -1$@@-4@@解：
(2) 由
(1)，得$y = (x + 1)^2 - 4 = x^2 + 2x - 3$. 令$y = 0$，解得$x_1 = -3$, $x_2 = 1$. $\therefore A(-3, 0)$, $B(1, 0)$. 设点$M$的坐标为$(x, x^2 + 2x - 3)$. $\therefore S_{\triangle AMB} = \frac{1}{2}×4×|x^2 + 2x - 3| = 2|x^2 + 2x - 3|$. $\because$点$M$在第三象限， $\therefore S_{\triangle AMB} = -2(x^2 + 2x - 3) = -2(x + 1)^2 + 8$, $\therefore$当$x = -1$时，$S_{\triangle AMB}$最大，此时点$M$的坐标为(-1, -4)，$\triangle AMB$的最大面积为8.

15.已知抛物线$y = a(x - 1)^2 + b(a＞0)$经过点$P(m,y_1)$，$Q(3,y_2)$.若$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围是____________.

答案： -1 ＜ $m$ ＜ 3

16.新定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“厚德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“求真点”.把函数图象至少经过一个“厚德点”和一个“求真点”的函数称为“厚德求真函数”.
(1)已知二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的图象可以由抛物线$y = -x^2$平移得到，二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的顶点就是一个“厚德点”，并且该函数图象还经过一个“求真点”$P(3,m)$，求该二次函数的关系式.
(2)已知二次函数$y = 2(x - c)^2 + d(c,d$为常数，$c≠0)$的图象的顶点为点$M$，与$y$轴交于点$N$，经过点$M$，$N$的直线$l$上存在无数个“厚德点”.当$m - 1\leqslant x\leqslant m$时，函数$y = 2(x - c)^2 + d$有最小值$\frac{15}{2}$，求$m$的值.

答案： 解：
(1) 由题意可知，$a = -1$, $h = k$, $m = -3$， $\therefore$抛物线的关系式可化为$y = -(x - h)^2 + h$. $\because$该抛物线经过“求真点”$P(3, -3)$， $\therefore -3 = -(3 - h)^2 + h$，解得$h = 1$或$h = 6$，$\therefore$抛物线的关系式为$y = -(x - 1)^2 + 1$或$y = -(x - 6)^2 + 6$.
(2) 由题意，得点$M(c, d)$. 当$x = 0$时，$y = 2(0 - c)^2 + d = 2c^2 + d$， $\therefore$点$N(0, 2c^2 + d)$. $\because$经过点$M$，$N$的直线$l$上存在无数个“厚德点”， $\therefore$直线$l$的关系式为$y = x$， $\therefore c = d$，且$2c^2 + d = 0$，解得$c = -\frac{1}{2}$, $d = -\frac{1}{2}$， $\therefore$抛物线的关系式为$y = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$， $\therefore$点$M(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. $\because$当$m - 1 \leq x \leq m$时，函数$y = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$有最小值$\frac{15}{2}$，$\therefore x = -\frac{1}{2}$不可能在$x = m - 1$和$x = m$之间. 若$m ＜ -\frac{1}{2}$，则当$x = m$时，函数取得最小值， 即$2(m + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$，解得$m_1 = -\frac{5}{2}$, $m_2 = \frac{3}{2}$(舍)； 若$m - 1 ＞ -\frac{1}{2}$，则当$x = m - 1$时，函数取得最小值，即$2(m - 1 + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$， 解得$m_1 = \frac{5}{2}$, $m_2 = -\frac{3}{2}$(舍). 综上所述，$m$的值为$\pm\frac{5}{2}$.