《2025年一本初中数学九年级下册华师大版》

12.（2024·内江节选）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = -2x + 6$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $y$ 轴交于点 $B$，抛物线 $y = -x^{2}+bx + c$ 经过 $A$，$B$ 两点，在第一象限的抛物线上取一点 $D$，过点 $D$ 作 $DC\perp x$ 轴于点 $C$，交 $AB$ 于点 $E$．

（1）求抛物线所对应的函数表达式．
（2）是否存在点 $D$，使得 $\triangle BDE$ 和 $\triangle ACE$ 相似？若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：
 12. 解：
(1) 令 $y = 0$，得 $-2x + 6 = 0$，解得 $x = 3$；令 $x = 0$，得 $y = 6$，所以 $A(3,0)$，$B(0,6)$。 把 $A(3,0)$，$B(0,6)$ 代入 $y=-x^{2}+bx + c$，得 $\begin{cases}-9 + 3b + c = 0\\c = 6\end{cases}$，解得 $\begin{cases}b = 1\\c = 6\end{cases}$， 所以抛物线所对应的函数表达式为 $y=-x^{2}+x + 6$。
(2) 存在。 如图，过点 $B$ 作 $BH\perp CD$ 于点 $H$。 设点 $D(t,-t^{2}+t + 6)$，则 $E(t,-2t + 6)$，$C(t,0)$，$H(t,6)$， 所以 $EC=-2t + 6$，$AC = 3 - t$，$BH = t$，$DH=-t^{2}+t$，$DE=-t^{2}+3t$。 因为 $\triangle BDE$ 和 $\triangle ACE$ 相似，$\angle BED=\angle AEC$， 所以 $\triangle ACE\sim\triangle BDE$ 或 $\triangle ACE\sim\triangle DBE$。 ①当 $\triangle ACE\sim\triangle BDE$ 时，$\angle BDE=\angle ACE = 90^{\circ}$， 所以 $BD\parallel AC$，所以点 $D$ 的纵坐标为6， 所以 $-t^{2}+t + 6 = 6$，解得 $t = 0$（舍去）或 $t = 1$， 所以 $D(1,6)$。 ②当 $\triangle ACE\sim\triangle DBE$ 时，$\angle BDE=\angle CAE$。 因为 $BH\perp DC$，所以 $\angle BHD = 90^{\circ}$， 所以 $\frac{BH}{DH}=\tan\angle BDE=\tan\angle CAE=\frac{OB}{OA}$， 所以 $\frac{t}{-t^{2}+t}=\frac{6}{3}=2$， 所以 $-2t^{2}+2t = t$，解得 $t = 0$（舍去）或 $t=\frac{1}{2}$， 所以 $D(\frac{1}{2},\frac{25}{4})$。 综上所述，点 $D$ 的坐标为 $(1,6)$ 或 $(\frac{1}{2},\frac{25}{4})$。