《2025年一本初中数学九年级下册华师大版》

10. 已知函数$y=(m + 2)x^{m^{2}-2}+2x - 1(x\neq 0)$，当$m =$_____时，它是二次函数；当$m =$__________时，它是一次函数.

答案： 2@@$\pm\sqrt{3}$或 - 2

[变式] （2024·绵阳游仙区期末）若$y=(m^{2}-3m)x^{m^{2}-2m - 1}$是二次函数，则$m =$______.

答案： -1

11. 根据如图所示的程序计算函数值.

（1）当输入的$x$的值为$\frac{2}{3}$时，输出的结果为________；
（2）当输入的$x$的值为________时，输出的结果为 - 4.

答案： $\frac{4}{9}$@@6或 - 6

12. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 8$，$BC = 6$，$P$是线段$BC$上一点（不与点$B$重合），$M$是$DB$上一点，且$BP = DM$. 设$BP = x$，$\triangle MBP$的面积为$y$，则$y$与$x$之间的函数关系式为________________.

答案： $y=-\frac{2}{5}x^{2}+4x(0\lt x\leq6)$

[变式] 如图，在正方形$ABCD$中，$AB = 2$，$M$为正方形$ABCD$的边$CD$上的动点（与点$C$，$D$不重合），连结$BM$，作$MF\perp BM$，与正方形$ABCD$的外角$\angle ADE$的平分线交于点$F$. 设$CM = x$，$\triangle DFM$的面积为$y$，则$y$与$x$之间的函数关系式为__________.

答案： $y=-\frac{1}{2}x^{2}+x(0\lt x\lt2)$

13. 一块三角形废料如图所示，$\angle C = 90^{\circ}$，$\cos B=\frac{3}{5}$，$AB = 2.5$米，用这块废料剪出一个矩形$CDEF$，其中，点$D$，$E$，$F$分别在$AC$，$AB$，$BC$上. 若$DE$为$x$米，矩形$CDEF$的面积为$S$平方米，则$S$与$x$之间的函数关系式为（ ）

A. $S = -\frac{3}{4}x^{2}+2x$
B. $S = -\frac{4}{3}x^{2}+2x$
C. $S = -\frac{3}{5}x^{2}+2x$
D. $S = -\frac{5}{3}x^{2}+2x$

答案： B

14. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 6$ cm，$BC = 8$ cm，点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以1 cm/s的速度移动，点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以2 cm/s的速度移动.
（1）如果点$P$，$Q$分别从点$A$，$B$同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止. 经过$x$ s后，$\triangle PBQ$的面积为$y$ $cm^{2}$，请你写出$y$与$x$之间的函数关系式.
（2）经过3 s时，$\triangle PBQ$的面积是多少？
（3）根据（1）中的函数关系式说明，经过多长时间，$\triangle PBQ$的面积为8 $cm^{2}$？

答案： 解：
(1) 由题意，得$BP=(6 - x)\text{cm}$，$BQ = 2x\text{cm}$， 则$y=\frac{1}{2}\times(6 - x)\times2x$，即$y=-x^{2}+6x(0\lt x\leq4)$。
 
(2) 由
(1)，得$y=-x^{2}+6x(0\lt x\leq4)$。 当$x = 3$时，$y=-3^{2}+6\times3 = 9$。
∴经过3 s时，$\triangle PBQ$的面积是$9\text{cm}^{2}$。
(3) 当$-x^{2}+6x = 8$时，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$，
∴经过2 s或4 s时，$\triangle PBQ$的面积为$8\text{cm}^{2}$。