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2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
1. 下列说法中，正确的是 (
A.数列2，4，6，8可表示为集合$\{2,4,6,8\}$
B.数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是相同的
数列
C.数列$\{n^2 + n\}$的第$k$项为$k^2 + k$
D.数列0，1，2，3，4，…可记为$\{n\}$
C
)A.数列2，4，6，8可表示为集合$\{2,4,6,8\}$
B.数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是相同的
数列
C.数列$\{n^2 + n\}$的第$k$项为$k^2 + k$
D.数列0，1，2，3，4，…可记为$\{n\}$
答案：
1.C 对于A，由数列的定义易知A错误；对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；对于C，数列$\{n^2 + n\}$的第k项为$k^2 + k$，故C正确；易知D错误.
2. (2025·河北保定期末)数列$2^5$，$2^8$，$2^{11}$，…，$2^{3n + 11}(n \in \mathbf{N}^*)$的项数是 (
A.$3n + 11$
B.$n + 4$
C.$n + 3$
D.$n$
C
)A.$3n + 11$
B.$n + 4$
C.$n + 3$
D.$n$
答案：
2.C 5,8,11的间隔是3，若$n = 1$，则$3n + 11 = 14$，所以数列的项数为$n + 3$.
3. 数列$-2$，$\frac{4}{3}$，$-\frac{6}{5}$，$\frac{8}{7}$，…的通项公式可以为 (
A.$a_n = (-1)^n \frac{n}{2n + 1}$
B.$a_n = (-1)^n \frac{2n}{2n - 1}$
C.$a_n = (-1)^{n - 1} \frac{2n}{2n + 1}$
D.$a_n = (-1)^{n + 1} \frac{2n}{2n - 1}$
B
)A.$a_n = (-1)^n \frac{n}{2n + 1}$
B.$a_n = (-1)^n \frac{2n}{2n - 1}$
C.$a_n = (-1)^{n - 1} \frac{2n}{2n + 1}$
D.$a_n = (-1)^{n + 1} \frac{2n}{2n - 1}$
答案：
3.B 对于选项A：令$n = 1$，可得$a_1 = -\frac{1}{3}$，不符合题意；对于选项B：代入检验均可，符合题意；对于选项C：令$n = 1$，可得$a_1 = \frac{2}{3}$，不符合题意；对于选项D：令$n = 1$，可得$a_1 = 2$，不符合题意.故选B.
4. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_n = \begin{cases}n + 1, n \leq 3, \\ 2n, n ＞ 3\end{cases}(n \in \mathbf{N}^*)$，且$a_n = 4$，那么$n$等于 ( )
A.2
B.3
C.4
D.2或3
A.2
B.3
C.4
D.2或3
答案：
4.B 由题设，若$a_n = n + 1 = 4$，可得$n = 3 \in \{n|n \leq 3, n \in \mathbf{N}^*\}$，若$a_n = 2n = 4$，可得$n = 2 \notin \{n|n ＞ 3, n \in \mathbf{N}^*\}$，所以$n = 3$.
5. (多选)已知数列$1$，$\sqrt{2} + 1$，$\sqrt{3} + \sqrt{2}$，$2 + \sqrt{3}$，…，$\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}$，…，则下列说法正确的是 (
A.$3 + 2\sqrt{2}$是它的第3项
B.$4 + \sqrt{15}$是它的第4项
C.$3 + 2\sqrt{2}$是它的第9项
D.$4 + \sqrt{15}$是它的第16项
CD
)A.$3 + 2\sqrt{2}$是它的第3项
B.$4 + \sqrt{15}$是它的第4项
C.$3 + 2\sqrt{2}$是它的第9项
D.$4 + \sqrt{15}$是它的第16项
答案：
5.CD 当$n = 9$时，$\sqrt{n} + \sqrt{n - 1} = 3 + 2\sqrt{2}$，故C正确，A错误；当$n = 16$时，$\sqrt{n} + \sqrt{n - 1} = 4 + \sqrt{15}$，故D正确，B错误.
6. (多选)数列2，0，2，0，…的通项公式可以是 (
A.$a_n = (-1)^{n + 1} + 1$
B.$a_n = (-1)^n + 1$
C.$a_n = 2\left| \sin \frac{n\pi}{2} \right|$
D.$a_n = \begin{cases} 2, n = 1, \\ 2 - a_{n - 1}, n \geq 2 \end{cases}$
ACD
)A.$a_n = (-1)^{n + 1} + 1$
B.$a_n = (-1)^n + 1$
C.$a_n = 2\left| \sin \frac{n\pi}{2} \right|$
D.$a_n = \begin{cases} 2, n = 1, \\ 2 - a_{n - 1}, n \geq 2 \end{cases}$
答案：
6.ACD 对于A：当$n$为奇数时，$a_n = 1 + 1 = 2$，当$n$为偶数时，$a_n = -1 + 1 = 0$，故A正确；对于B：当$n$为奇数时，$a_n = -1 + 1 = 0$，当$n$为偶数时，$a_n = 1 + 1 = 2$，故B错误；对于C：当$n$为奇数时，设$n = 2k - 1, k \in \mathbf{Z}$，则$a_n = 2\left|\sin\frac{(2k - 1)\pi}{2}\right| = 2\left|\sin\left(k\pi - \frac{\pi}{2}\right)\right| = 2\left|\sin\frac{\pi}{2}\right| = 2$，当$n$为偶数时，设$n = 2k, k \in \mathbf{Z}$，则$a_n = 2\left|\sin\frac{2k\pi}{2}\right| = 2|\sin k\pi| = 0$，故C正确；对于D：易知$a_1 = 2, a_2 = 2 - a_1 = 0$，当$n \geq 2$时，$a_n + a_{n - 1} = 2$，用$n + 1$代替$n$，可得$a_{n + 1} + a_n = 2$，两式相减得$a_{n + 1} - a_{n - 1} = 0$，所以数列$\{a_n\}$的奇数项、偶数项分别相等，故D正确.
7. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = n^2 + 2n$，若第$2m$项是第$m$项的3倍，则$m =$
2
.
答案：
7.2 解析 由题得$a_{2m} = 3a_m$，又$a_{2m} = 4m^2 + 4m$，$a_m = m^2 + 2m$，所以$4m^2 + 4m = 3m^2 + 6m$，解得$m = 0$（舍去）或$m = 2$.
8. 如图所示，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中第37项是
190
.
答案：
8.190 解析 由题意可得第4,5,6行的第三个数依次为$3 = 1 + 2$，$6 = 1 + 2 + 3$，$10 = 1 + 2 + 3 + 4$，所以第$k(k \geq 4)$行的第三个数为$1 + 2 + ·s + (k - 2)$，在该数列中，第37项为第21行第三个数，所以该数列的第37项为$1 + 2 + ·s + 19 = \frac{19 × (19 + 1)}{2} = 190$.
9. 写出下列数列的一个通项公式.
（1）0，3，8，15，24，…；
（2）1，$-3$，5，$-7$，9，…；
（3）$0$，$\frac{2^2 - 2}{5}$，$\frac{3^2 - 3}{10}$，$\frac{4^2 - 4}{17}$，…；
（4）1，11，111，1 111，….
（1）0，3，8，15，24，…；
（2）1，$-3$，5，$-7$，9，…；
（3）$0$，$\frac{2^2 - 2}{5}$，$\frac{3^2 - 3}{10}$，$\frac{4^2 - 4}{17}$，…；
（4）1，11，111，1 111，….
答案：
9.解
(1)观察数列中的数，可以看到$0 = 1 - 1$，$3 = 4 - 1$，$8 = 9 - 1$，$15 = 16 - 1$，$24 = 25 - 1$，$·s$，所以它的一个通项公式是$a_n = n^2 - 1$.
(2)数列各项的绝对值为$1,3,5,7,9,·s$，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为$a_n = (-1)^{n + 1}(2n - 1)$.
(3)因为$5 = 2^2 + 1$，$10 = 3^2 + 1$，$17 = 4^2 + 1$，所以数列的一个通项公式为$a_n = \frac{n^2 - n}{n^2 + 1}$.
(4)原数列的各项可变为$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{9} × 9$，$\frac{1}{9} × 99$，$\frac{1}{9} × 999$，$\frac{1}{9} × 9999$，$·s$，易知数列$9,99,999,9999,·s$的一个通项公式为$10^n - 1$，所以原数列的一个通项公式为$a_n = \frac{1}{9}(10^n - 1)$.
(1)观察数列中的数，可以看到$0 = 1 - 1$，$3 = 4 - 1$，$8 = 9 - 1$，$15 = 16 - 1$，$24 = 25 - 1$，$·s$，所以它的一个通项公式是$a_n = n^2 - 1$.
(2)数列各项的绝对值为$1,3,5,7,9,·s$，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为$a_n = (-1)^{n + 1}(2n - 1)$.
(3)因为$5 = 2^2 + 1$，$10 = 3^2 + 1$，$17 = 4^2 + 1$，所以数列的一个通项公式为$a_n = \frac{n^2 - n}{n^2 + 1}$.
(4)原数列的各项可变为$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{9} × 9$，$\frac{1}{9} × 99$，$\frac{1}{9} × 999$，$\frac{1}{9} × 9999$，$·s$，易知数列$9,99,999,9999,·s$的一个通项公式为$10^n - 1$，所以原数列的一个通项公式为$a_n = \frac{1}{9}(10^n - 1)$.
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