《2025年有一套初中各地市期末真题八年级数学上册人教版》

21. (本小题10分)如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同的三个三角形，如果$\angle C = 90^{\circ},\angle B = 30^{\circ}$，小明利用直尺(无刻度)和圆规进行了如下操作，请你帮小明完成下面的尺规作图(保留作图痕迹，不写作法).
(1) 作$\angle BAC$的平分线$AD$，交$BC$于点$D$；
(2) 作 ________ 的垂直平分线$EF$(选择正确选项并完成作图)；
A. 线段$AB$
B. 线段$BC$
C. 线段$AC$
(3) 根据以上信息请判断：点$D$在直线$EF$上吗？ ________ (填“在”或“不在”)，请说明理由.

答案：
21.解：
(1)如图，射线AD即为所求。

(2)A如图，直线EF即为所求。
(3)在理由如下：
∵∠C = 90°，∠B = 30°，
∴∠BAC = 60°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB = 30° = ∠B，
∴AD = BD，
∴点D在AB的垂直平分线EF上。

22. (本小题11分)中国某外贸企业从国外某地区进口了$A,B$两种材料. 已知$B$种材料比$A$种材料每吨多2万元，用900万元购进$A$种材料的吨数是用800万元购进$B$种材料吨数的1.5倍.
(1) 求$A,B$两种材料每吨各多少万元；
(2) 由于市场的需要，该企业再次用1550万元购进$A,B$两种材料共240吨，$A$种材料的单价较上次上涨了$10\%$，$B$种材料的单价较上次下降了$20\%$，求该企业最多能购买$A$种材料的数量.

答案： 22.解：
(1)设A种材料每吨x万元，则B种材料每吨(x + 2)万元。
由题意，得$\frac{900}{x}$ = $\frac{800}{x + 2}$×1.5，解得x = 6。
经检验，x = 6是原分式方程的解，且符合题意，
∴x + 2 = 6 + 2 = 8。
答：A种材料每吨6万元，B种材料每吨8万元。
(2)设该企业购买A种材料m吨，则购买B种材料(240 - m)吨。由题意，得6×(1 + 10%)m + 8×(1 - 20%)(240 - m) ≤ 1550，解得m ≤ 70。
答：该企业最多能购买A种材料70吨。