《2025年有一套初中各地市期末真题八年级数学上册人教版》

7. 如图所示为钢架的示意图，$ \angle A = 25^{\circ} $，焊上等长的钢条 $ P_1P_2 $，$ P_2P_3 $，…来加固钢架. 若 $ P_1A = P_1P_2 $，则这样的钢条至多需要（B）

A.$ 2 $ 根
B.$ 3 $ 根
C.$ 4 $ 根
D.$ 5 $ 根

答案： 7.B [解析]
∵$P_1A = P_1P_2$，
∴$\angle A = \angle P_1P_2A = 25^{\circ}$，
∴$\angle P_2P_1P_3 = \angle A + \angle P_1P_2A = 50^{\circ}$.
若$P_2P_3$可以焊接，
∵$P_1P_2 = P_2P_3$，
∴$\angle P_1P_3P_2 = \angle P_2P_1P_3 = 50^{\circ}$，
∴$\angle P_1P_2P_3 = 80^{\circ}$.
若$P_3P_4$可以焊接，则$\angle P_3P_2P_4 = 75^{\circ}$.
∵$P_2P_3 = P_3P_4$，
∴$\angle P_3P_4P_2 = 75^{\circ}$.
若$P_4P_5$可以焊接，则$\angle P_5P_3P_4 = 100^{\circ}$.
∵$P_3P_4 = P_4P_5$，
∴$\angle P_4P_5P_3 = 100^{\circ}$，
∴此时不能继续焊接.
综上所述，这样的钢条至多需要3根.故选：B.

8. 如图，已知 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ \angle A = 30^{\circ} $，$ BD $ 平分 $ \angle CBA $，且交 $ AC $ 于点 $ D $，$ AC = 1 $，那么 $ AD $ 的长是$\frac{2}{3}$.

答案： 8.$\frac{2}{3}$

9. 如图，一艘轮船由海平面上 $ C $ 地出发向南偏西 $ 25^{\circ} $ 方向行驶 $ 50 $ 海里到达 $ B $ 地，再由 $ B $ 地向北偏西 $ 35^{\circ} $ 方向行驶 $ 50 $ 海里到达 $ A $ 地，则 $ A $，$ C $ 两地相距50海里.

答案： 9.50

10. 如图，已知 $ AB = BC = AD $，$ AD \perp BC $ 于点 $ E $，$ AC \perp CD $，若 $ CD = \frac{3}{5} $，则 $ \triangle ACD $ 的面积为$\frac{9}{25}$.

答案： 10.$\frac{9}{25}$

11. 如图，$ \triangle ABC $，$ \triangle CDE $ 都是等边三角形，将 $ \triangle CDE $ 绕点 $ C $ 旋转，使得点 $ A $，$ D $，$ E $ 在同一直线上，连接 $ BE $. 若 $ BE = 1 $，$ AE = 4 $，则 $ CE $ 的长是3.

答案： 11.3

12. 如图，$ O $ 是等边三角形 $ ABC $ 内一点，$ \angle AOB = 100^{\circ} $，$ \angle BOC = \alpha $. 以 $ OC $ 为一边作等边三角形 $ OCD $，连接 $ AC $，$ AD $.
（1）当 $ \alpha = 150^{\circ} $ 时，试判断 $ \triangle AOD $ 的形状，并说明理由；
（2）当 $ \triangle AOD $ 是等腰三角形时，求 $ \alpha $ 的度数.

答案： 12.解:
(1)△AOD是直角三角形.理由如下:
∵△ABC，△OCD是等边三角形，
∴$BC = AC$，$OC = DC$，$\angle ACB = \angle OCD = 60^{\circ}$，
∴$\angle BCO = \angle ACD$.
在$\triangle BOC$和$\triangle ADC$中，$\begin{cases}OC = DC,\\\angle BCO = \angle ACD,\\BC = AC,\end{cases}$
∴$\triangle BOC \cong \triangle ADC(SAS)$，
∴$\angle BOC = \angle ADC$.
∵$\angle BOC = \alpha = 150^{\circ}$，$\angle ODC = 60^{\circ}$，
∴$\angle ADO = 150^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}$，
∴$\triangle ADO$是直角三角形.
(2)同
(1)，得$\triangle BOC \cong \triangle ADC$，
∴$\angle BOC = \angle ADC = \alpha$，
∴$\angle AOD = 360^{\circ} - 100^{\circ} - 60^{\circ} - \alpha = 200^{\circ} - \alpha$，$\angle ADO = \alpha - 60^{\circ}$，
∴$\angle OAD = 180^{\circ} - \angle AOD - \angle ADO = 40^{\circ}$.
①要使$AO = AD$，需$\angle AOD = \angle ADO$，
∴$200^{\circ} - \alpha = \alpha - 60^{\circ}$，
∴$\alpha = 130^{\circ}$.
②要使$OA = OD$，需$\angle OAD = \angle ADO$，
∴$40^{\circ} = \alpha - 60^{\circ}$，
∴$\alpha = 100^{\circ}$.
③要使$OD = AD$，需$\angle OAD = \angle AOD$，
∴$40^{\circ} = 200^{\circ} - \alpha$，
∴$\alpha = 160^{\circ}$.
综上所述，当$\triangle AOD$是等腰三角形时，$\alpha$为$130^{\circ}$或$100^{\circ}$或$160^{\circ}$.