《2025年有一套初中各地市期末真题八年级数学上册人教版》

23. [新考向·阅读理解题] (11分) 阅读以下材料.
因式分解：$ (x + y)^2 + 2(x + y) + 1 $.
解：将“$ x + y $”看成整体，令 $ x + y = A $，则原式 $ = A^2 + 2A + 1 = (A + 1)^2 $，再将“$ A $”还原，得原式 $ = (x + y + 1)^2 $.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1) 因式分解：$ (x - y)^2 - 2(x - y) + 1 = $$(x - y - 1)^2$；
(2) 因式分解：$ (a^2 - 4a + 2)(a^2 - 4a + 6) + 4 $；
(3) 求证：无论 $ n $ 为何值，式子 $ (n^2 - 2n - 3)(n^2 - 2n + 5) + 17 $ 的值一定是一个不小于 1 的数.

答案： 23.解:
(1)(x - y - 1)²
(2)令a² - 4a = A,
原式 = (A + 2)(A + 6) + 4 = A² + 8A + 12 + 4 = (A + 4)².
将“A”还原,
原式 = (a² - 4a + 4)² = (a - 2)⁴.
(3)证明:令n² - 2n = A,
原式 = (A - 3)(A + 5) + 17 = A² + 2A - 15 + 17 = A² + 2A + 2 = (A + 1)² + 1.
将A = n² - 2n还原,
原式 = (n² - 2n + 1)² + 1 = (n - 1)⁴ + 1.
因为无论n为何值(n - 1)⁴≥0均成立,
所以(n - 1)⁴ + 1≥1,
即式子(n² - 2n - 3)(n² - 2n + 5) + 17的值一定是一个不小于1的数.