《2025年有一套初中各地市期末真题八年级数学上册人教版》

13. 如图，$\triangle ABC$ 中，$\angle B ＜ \angle C$，$AD \perp BC$ 于点 $D$，$AE$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $E$。
（1）当 $\angle B = 30^{\circ}$，$\angle C = 50^{\circ}$ 时，求 $\angle DAE$ 的度数；
（2）猜想：$\angle DAE$ 与 $\angle B$，$\angle C$ 有什么关系，并说明理由。

答案： 13.解:
(1)$\because \angle B = 30^{\circ}, \angle C = 50^{\circ}$,
$\therefore \angle BAC = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 100^{\circ}$.
$\because AE$平分$\angle BAC$,
$\therefore \angle CAE = \frac{1}{2}\angle BAC = 50^{\circ}$.
$\because AD \perp BC, \angle C = 50^{\circ}$,
$\therefore \angle DAC = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$,
$\therefore \angle DAE = \angle CAE - \angle CAD = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ}$.
(2)$\angle DAE = \frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$.理由如下:
$\because AD,AE$分别是$\triangle ABC$的高和角平分线,
答案
$\therefore \angle CAE = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle B - \angle C)$,
$\angle CAD = 90^{\circ} - \angle C$,
$\therefore \angle DAE = \angle CAE - \angle CAD = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle B - \angle C) - (90^{\circ} - \angle C) = \frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$.

14. [新考法·过程性探究活动] 在数学课上，张老师引导大家探究角平分线的夹角问题。在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC$ 与 $\angle ACB$ 的平分线相交于点 $P$。
【问题研究】
（1）①如图 1，若 $\angle ABC = 50^{\circ}$，$\angle ACB = 70^{\circ}$，则 $\angle BPC =$$120^{\circ}$；
②猜测 $\angle BPC$ 与 $\angle A$ 之间的数量关系，并证明；
【问题延伸】
（2）如图 2，作 $\triangle ABC$ 的外角 $\angle CBM$，$\angle BCN$ 的平分线，相交于点 $Q$，则 $\angle Q$ 与 $\angle BPC$ 之间的数量关系为$\angle Q = 180^{\circ} - \angle BPC$；
【拓展应用】
（3）如图 3，在（2）的条件下，延长线段 $BP$，$QC$，相交于点 $E$，在 $\triangle BQE$ 中，当 $\angle E$ 与 $\angle Q$ 两锐角存在 $3$ 倍的数量关系时，求 $\angle A$ 的度数。

答案： 14.解:
(1)①$120^{\circ}$
②猜想$\angle BPC = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle A$.证明如下:
$\because \angle A + \angle ACB + \angle ABC = 180^{\circ}$,
$\therefore \angle ACB + \angle ABC = 180^{\circ} - \angle A$.
$\because BP,CP$分别是$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线,
$\therefore \angle PBC = \frac{1}{2}\angle ABC, \angle BCP = \frac{1}{2}\angle ACB$.
$\because \angle PBC + \angle BCP + \angle BPC = 180^{\circ}$,
$\therefore \angle BPC = 180^{\circ} - \angle PBC - \angle BCP$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}\angle ABC - \frac{1}{2}\angle ACB$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A)$
$= 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle A$.
(2)$\angle Q = 180^{\circ} - \angle BPC$
(3)$\because BP$是$\angle ABC$的平分线,$BQ$是$\angle CBM$的平分线,
$\therefore \angle PBC = \frac{1}{2}\angle ABC, \angle CBQ = \frac{1}{2}\angle CBM$.
$\because \angle ABC + \angle CBM = 180^{\circ}$,
$\therefore \angle PBC + \angle CBQ = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle CBM) = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle QBE = \angle PBC + \angle CBQ = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle E + \angle Q = 90^{\circ}$.
由
(2)知$\angle Q = 180^{\circ} - \angle BPC = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle A$,
$\therefore \angle E = \frac{1}{2}\angle A$.
当$\angle Q = 3\angle E$时,$90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle A = 3 × \frac{1}{2}\angle A$,
解得$\angle A = 45^{\circ}$.
当$\angle E = 3\angle Q$时,$3(90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle A) = \frac{1}{2}\angle A$,
解得$\angle A = 135^{\circ}$.
综上所述,$\angle A$的度数为$45^{\circ}$或$135^{\circ}$.