《2025年天星教育试题调研数学第10辑》

已知四棱锥 $ P - ABCD $ 中，底面 $ ABCD $ 为直角梯形，$ AD // BC $，$ AB \perp AD $，$ AB = 2 $，$ BC = 2AD = 2\sqrt{2} $。
(1) 若顶点 $ P $ 在底面 $ ABCD $ 上的射影为点 $ A $，证明：平面 $ PAB \perp $ 平面 $ PBC $。
(2) 若顶点 $ P $ 在底面 $ ABCD $ 上的射影落在线段 $ AC $ 上 (不含端点)，记二面角 $ A - BC - P $ 的大小为 $ \alpha $，直线 $ PC $ 与平面 $ ABCD $ 所成的角为 $ \beta $。
(i) 求 $ \frac{\tan \alpha}{\tan \beta} $ 的值；
(ii) 当 $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ 时，求 $ PA $ 的最小值。

答案：

解析

(1) 根据题意作出四棱锥 $ P - ABCD $，如图 4，

$ \because $ 顶点 $ P $ 在底面 $ ABCD $ 上的射影为点 $ A $，$ \therefore PA \perp $ 平面 $ ABCD $，

$ \because BC \subset $ 平面 $ ABCD $，$ \therefore PA \perp BC $，

$ \because AD // BC $，$ AB \perp AD $，$ \therefore AB \perp BC $，

又 $ AB \cap PA = A $，$ AB $，$ PA \subset $ 平面 $ PAB $，$ \therefore BC \perp $ 平面 $ PAB $，又 $ BC \subset $ 平面

【避易错】解答题中注意规范答题，“线线相交”不可遗漏，否则扣 1 分

$ PBC $，$ \therefore $ 平面 $ PAB \perp $ 平面 $ PBC $。

(2)(i) 如图 5，设顶点 $ P $ 在底面 $ ABCD $ 上的射影为点 $ H $，

则 $ PH \perp $ 平面 $ ABCD $，$ H $ 在 $ AC $ 上，则 $ \beta = \angle PCH $，$ \therefore \tan \beta = \frac{PH}{HC} $。

过 $ H $ 作 $ HM \perp BC $ 于点 $ M $，连接 $ PM $，

$ \because BC \subset $ 平面 $ ABCD $，$ \therefore PH \perp BC $，

又 $ PH \cap HM = H $，$ PH $，$ HM \subset $ 平面 $ PMH $，$ \therefore BC \perp $ 平面 $ PMH $，$ \because PM \subset $ 平面 $ PMH $，$ \therefore BC \perp PM $，

$ \therefore \alpha = \angle PMH $，$ \therefore \tan \alpha = \frac{PH}{HM} $，从而 $ \frac{\tan \alpha}{\tan \beta} = \frac{HC}{HM} = \frac{1}{\sin \angle ACB} $。

在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ AC = \sqrt{2^{2} + (2\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{3} $，则 $ \sin \angle ACB = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $。

$ \therefore \frac{\tan \alpha}{\tan \beta} = \sqrt{3} $。

【多想少算】本题也可以建系，利用向量法求解，但要注意利用向量法求出的角的三角函数值往往是正弦值或余弦值，而本问要找的是正切值，利用向量法反而把解题变复杂了，这就指引我们解题时要回归空间角的定义，利用几何法求解

(ii) $ \because \alpha = \frac{\pi}{3} $，$ \therefore \tan \alpha = \frac{PH}{HM} = \sqrt{3} $，设 $ HM = x $，则 $ PH = \sqrt{3}x $。

由 (i) 知 $ \tan \beta = 1 $，则 $ CH = PH = \sqrt{3}x $，$ AH = AC - CH = 2\sqrt{3} - \sqrt{3}x $。

在 $ Rt \triangle PAH $ 中，$ PA^{2} = PH^{2} + AH^{2} $，即 $ PA^{2} = 3x^{2} + (2\sqrt{3} - \sqrt{3}x)^{2} = 6(x - 1)^{2} + 6 $，

当且仅当 $ x = 1 $，即 $ H $ 为 $ AC $ 的中点时，$ PA $ 有最小值，最小值为 $ \sqrt{6} $。