《2025年天星教育试题调研数学第10辑》

已知平面中，$\boldsymbol{e}$是单位向量，非零向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{e}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，向量$\boldsymbol{b}$满足$\boldsymbol{b}^2 - 4\boldsymbol{e}\boldsymbol{b} + 3 = 0$，则$|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$的最小值是.

答案：
在平面直角坐标系$xOy$中，设$\boldsymbol{a} = (x,y)$，$\boldsymbol{b} = (m,n)$，不妨取$\boldsymbol{e} = (1,0)$.
第一步：隐圆识别，变形后符合特征2.
由$\boldsymbol{b}^2 - 4\boldsymbol{e}\boldsymbol{b} + 3 = 0$，得$(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{e})(\boldsymbol{b} - 3\boldsymbol{e}) = 0$，则$(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{e})\perp(\boldsymbol{b} - 3\boldsymbol{e})$，
即$(m - 1)(m - 3) + n^2 = 0$，化简得$(m - 2)^2 + n^2 = 1$，
故$\boldsymbol{b}$的终点在以$(2,0)$为圆心，$1$为半径的圆上.
【数形结合】如图1，作$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{e}$，$\overrightarrow{OB} = 3\boldsymbol{e}$，令$\overrightarrow{OC} = \boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{b} - \boldsymbol{e} = \overrightarrow{AC}$，$\boldsymbol{b} - 3\boldsymbol{e} = \overrightarrow{BC}$，
即$\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BC}$，故$C$的轨迹是以$AB$的中点为圆心，$|AB|$长为直径的圆
由$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{e}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$得$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{e} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{e}|\cos\frac{\pi}{3}$，即$x = \frac{1}{2}\sqrt{x^2 + y^2}$，得$y =\pm\sqrt{3}x(x ＞ 0)$.
第二步：问题转化，结合圆的性质求最小值.
故$|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{(x - m)^2 + (y - n)^2}$表示圆$(m - 2)^2 + n^2 = 1$上的点$(m,n)$到射线$y = \pm\sqrt{3}x(x ＞ 0)$上的点$(x,y)$的距离，
故其最小值为圆心$(2,0)$到射线$y = \pm\sqrt{3}x(x ＞ 0)$的距离减$1$，
即$|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|_{\min} = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}} - 1 = \sqrt{3} - 1$.