《2025年天星教育试题调研数学第10辑》

[2025辽宁大连3月模拟]已知不等式$e^{x-\frac{1}{a}+1}-2ax\geq b$对任意的实数$x$恒成立，则$\frac{b}{a}$的最大值为。

答案： 常规解 令$t = x-\frac{1}{a}+1$，则$x = t - 1+\frac{1}{a}$，原不等式可转化为$e^{t}-2a(t - 1+\frac{1}{a})\geq b$对任意的实数$t$恒成立，即$e^{t}-2at + 2a - b - 2\geq0$对任意的实数$t$恒成立。
【障碍速通】已知关于$x$的不等式结构复杂，指数上面“套”有参数和分数，因此第一步就是把指数“拉下来”，换元是最好的方法，然后就可以转化为关于$t$的不等式的最值问题
设$f(t)=e^{t}-2at + 2a - b - 2$，则$f'(t)=e^{t}-2a$。
当$a ＜ 0$时，$f'(t)＞0$，$f(t)$在$\mathbf{R}$上单调递增，且当$t\to-\infty$时，$f(t)＜0$，不符合题意。
当$a ＞ 0$时，由$f'(t)=e^{t}-2a = 0$可得$t=\ln(2a)$。
当$t ＜\ln(2a)$时，$f'(t)＜0$，$f(t)$单调递减，当$t＞\ln(2a)$时，$f'(t)＞0$，$f(t)$单调递增，
则当$t=\ln(2a)$时，$f(t)$取最小值，为$f(\ln(2a))=4a - 2a\ln(2a)-b - 2$。
因为$f(t)\geq0$对任意的实数$t$恒成立，故$4a - 2a\ln(2a)-b - 2\geq0$，
即$b\leq4a - 2a\ln(2a)-2$，则$\frac{b}{a}\leq4 - 2\ln(2a)-\frac{2}{a}$。
令$g(a)=4 - 2\ln(2a)-\frac{2}{a}$，$a ＞ 0$，则$g'(a)=-\frac{2}{a}+\frac{2}{a^{2}}=\frac{2(1 - a)}{a^{2}}$，
当$0 ＜ a ＜ 1$时，$g'(a)＞0$，$g(a)$单调递增，当$a ＞ 1$时，$g'(a)＜0$，$g(a)$单调递减。
故$g(a)$的最大值为$g(1)=2 - 2\ln2$，即$\frac{b}{a}\leq2 - 2\ln2$，故$\frac{b}{a}$的最大值为$2 - 2\ln2$。
快招解题 设$b = am$，因为$e^{x-\frac{1}{a}+1}-2ax\geq b$对任意的实数$x$恒成立，所以$e^{x-\frac{1}{a}+1}\geq2a(x+\frac{m}{2})$。
当$a ＜ 0$时，显然不符合题意。
当$a ＞ 0$时，若$x+\frac{m}{2}\leq0$，则不等式恒成立；
若$x+\frac{m}{2}＞0$，则$x-\frac{1}{a}+1\geq\ln2+\ln a+\ln(x+\frac{m}{2})$恒成立。
【障碍速通】利用指、对互化整理变形，目的是得到含有“$\ln x$”的式子，为超越不等式放缩做准备
结合对数型超越不等式$\ln x\leq x - 1$(当$x = 1$时取等号)，只需$x-\frac{1}{a}+1\geq\ln2+\ln a+x+\frac{m}{2}-1$成立即可，
则有$\frac{m}{2}\leq2 - \ln2-\frac{1}{a}-\ln a=2 - \ln2-\frac{1}{a}+\ln\frac{1}{a}\leq2 - \ln2-\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-1 = 1 - \ln2$，
当且仅当$\frac{1}{a}=1$，即$a = 1$时等号成立，所以$m\leq2 - 2\ln2$，即$\frac{b}{a}$的最大值为$2 - 2\ln2$。