《2025年天星教育试题调研数学第10辑》

已知椭圆C：$\frac{x²}{a²} + \frac{y²}{2} = 1(a ＞ \sqrt{2})$的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}，$过点$P(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA| = |PB|，则直线AB的方程为()

A.3x + y - 5 = 0
B.3x - y - 4 = 0
C.x + y - 2 = 0
D.x - y - 1 = 0

答案： 常规解 由题可知$\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}，$即$\frac{c²}{a²} = 1 - \frac{b²}{a²} = 1 - \frac{2}{a²} = \frac{2}{3}，$解得a² = 6，故椭圆C：$\frac{x²}{6} + \frac{y²}{2} = 1。$
设A(x_A,y_A)，B(x_B,y_B)，因为过$P(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$的直线与椭圆C交于A，B两点且满足|PA| = |PB|，所以P为线段AB的中点，所以x_A + x_B = 3，y_A + y_B = 1，
又$\frac{x_A²}{6} + \frac{y_A²}{2} = 1，$$\frac{x_B²}{6} + \frac{y_B²}{2} = 1，$则$\frac{x_A² - x_B²}{6} + \frac{y_A² - y_B²}{2} = 0，$所以$\frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = -\frac{x_A + x_B}{3(y_A + y_B)} = -1，$
【技法速通】弦中点问题首选点差法，注意使用点差法前要验证直线与曲线是否有两个交点，即验证弦中点在曲线内
故直线AB的方程为$y - \frac{1}{2} = -(x - \frac{3}{2})，$即x + y - 2 = 0。故选C。
快招解题 连接OP，由椭圆的中点弦斜率结论可知$k_{OP}k_{AB} = -\frac{b²}{a²}，$即$\frac{\frac{1}{2} - 0}{\frac{3}{2} - 0}×k_{AB} = -\frac{a² - c²}{a²} = -(1 - \frac{c²}{a²}) = -\frac{1}{3}，$所以$k_{AB} = -1，$
又直线AB过点$P(\frac{3}{2},\frac{1}{2})，$所以直线AB的方程为$y - \frac{1}{2} = -(x - \frac{3}{2})，$即x + y - 2 = 0。故选C。