《2025年天星教育试题调研数学第10辑》

调研
[2025 山东烟台 2 月诊断]设 $ A_0 $ 是一个项数为 $ n(n \geq 2) $ 的数列，其中每一项均为集合 $ \{0,1,2\} $ 中的元素. 定义数列 $ A_j(j \in \mathbf{N}^*) $ 如下. 若 $ A_{j - 1}:x_1,x_2,·s,x_n $，则 $ A_j:y_1,y_2,·s,y_n $，其中，当 $ x_i = x_{i + 1} $ 时，$ y_i = x_i $，当 $ x_i \neq x_{i + 1} $ 时，$ y_i = x_i^2 + x_i x_{i + 1} + x_{i + 1}^2 - 4(x_i + x_{i + 1}) + 5 $，$ i = 1,2,·s,n $，且 $ x_{n + 1} = x_1 $.
(1) 若数列 $ A_0:0,1,2 $，求数列 $ A_3 $.
(2) 若存在 $ m \in \mathbf{N}^* $，对任意 $ A_0 $，均有数列 $ A_m $ 与 $ A_0 $ 为同一数列，则称 $ m $ 为数列组 $ \{A_j\} $ 的一个周期.
(i) 若 $ n = 3 $，求数列组 $ \{A_j\} $ 的最小正周期；
(ii) 若数列组 $ \{A_j\} $ 存在周期，求 $ n $ 的所有可能取值.

答案：

(1) 对于 $ A_0:0,1,2 $，$ x_1 \neq x_2 \neq x_3 $，则对于 $ A_1:y_1,y_2,y_3 $，$ y_1 = 0^2 + 0 × 1 + 1^2 - 4 × (0 + 1) + 5 = 2 $，$ y_2 = 1^2 + 1 × 2 + 2^2 - 4 × (1 + 2) + 5 = 0 $，$ y_3 = 2^2 + 2 × 0 + 0^2 - 4 × (2 + 0) + 5 = 1 $，所以 $ A_1:2,0,1 $，

【提取 + 转化】提取关键信息 “当 $ x_i = x_{i + 1} $ 时，…，当 $ x_i \neq x_{i + 1} $ 时，…”，由此信息判断数列 $ A_1 $ 各项的赋值规则，而赋值规则实际上就是简单的代数运算，直接代值求解即可

依上述过程，$ A_2:1,2,0 $，$ A_3:0,1,2 $.

【迁移】依据数列的新运算规则，逐步求出 $ A_1 $，$ A_2 $，$ A_3 $ 即可

(2) (i) 根据题干中新定义的变化规则，讨论如下.

若 $ x_i = 0 $，$ x_{i + 1} = 1 $，则 $ y_i = 0^2 + 0 × 1 + 1^2 - 4 × (0 + 1) + 5 = 2 $，记 $ f(0,1) = f(1,0) = 2 $，

若 $ x_i = 0 $，$ x_{i + 1} = 2 $，则 $ y_i = 0^2 + 0 × 2 + 2^2 - 4 × (0 + 2) + 5 = 1 $，记 $ f(0,2) = f(2,0) = 1 $，

若 $ x_i = 1 $，$ x_{i + 1} = 2 $，则 $ y_i = 1^2 + 1 × 2 + 2^2 - 4 × (1 + 2) + 5 = 0 $，记 $ f(1,2) = f(2,1) = 0 $.

【转化 + 迁移】将一般情况下的赋值规则应用到特殊情况中，依次判断各情况下 $ y_i $ 的取值情况即可

令 $ a,b,c \in \{0,1,2\} $，$ a,b,c $ 各不相同，则 $ f(a,b) = f(b,a) = c $，$ f(b,c) = f(c,b) = a $，$ f(c,a) = f(a,c) = b $.

若 $ A_0:a,b,c $，则 $ A_1:c,a,b $，$ A_2:b,c,a $，$ A_3:a,b,c $，显然 $ A_0 $ 与 $ A_3 $ 为同一数列，即周期是 $ 3k $，$ k \in \mathbf{N}^* $；

若 $ A_0:a,a,c $，则 $ A_1:a,b,b $，$ A_2:c,b,c $，$ A_3:a,a,c $，显然 $ A_0 $ 与 $ A_3 $ 为同一数列，即周期是 $ 3k $，$ k \in \mathbf{N}^* $；

若 $ A_0:a,a,a $，则 $ A_j:a,a,a $，即周期是 $ k $，$ k \in \mathbf{N}^* $.

综上，所求最小正周期是 3.

(ii) 当 $ n $ 为偶数时，不妨设 $ A_0:1,2,1,2,·s,1,2 $，则 $ A_j:0,0,·s,0 $，$ j $ 为正整数，

【技法速通】显然 $ n $ 的奇偶性对变换有影响，所以需要讨论 $ n $ 的奇偶性，当 $ n $ 为偶数时，对应的周期探讨比较简单，易于解决，所以由此出发，也可以在解决过程中寻找 $ n $ 为奇数时的解题思路

此时不存在正整数 $ m $，使得数列 $ A_m $ 与 $ A_0 $ 为同一数列，即数列组 $ \{A_j\} $ 不存在周期.

当 $ n $ 为奇数时，由 $ A_0 $ 的每一项均为 $ \{0,1,2\} $ 中的元素，知 $ A_0 $ 至多有 $ 3^n $ 个，对于给定的 $ A_0 $，总存在 $ t \in \mathbf{N}^* $，$ k \in \mathbf{N} $，使得 $ A_k = A_{k + t} $，下证：当 $ k \geq 1 $ 时，$ A_{k - 1} = A_{k - 1 + t} $.

由数列 $ A_{j - 1}:x_1,x_2,·s,x_n $ 到 $ A_j:y_1,y_2,·s,y_n $ 的变换结果，知 $ y_i \equiv - (x_i + x_{i + 1})(mod 3) $，$ i = 1,2,·s,n $，不妨设 $ A_{k - 1}:a_1,a_2,·s,a_n $，$ A_{k - 1 + t}:b_1,b_2,·s,b_n $，

由 $ A_k = A_{k + t} $，则 $ - (a_i + a_{i + 1}) \equiv - (b_i + b_{i + 1})(mod 3) $，$ i = 1,2,·s,n $，

所以 $ \sum_{i = 1}^n (-1)^i (a_i + a_{i + 1}) \equiv \sum_{i = 1}^n (-1)^i (b_i + b_{i + 1})(mod 3) $，

即 $ - a_1 + (-1)^n a_{n + 1} \equiv - b_1 + (-1)^n b_{n + 1}(mod 3) $，

结合 $ n $ 为奇数，$ a_{n + 1} = a_1 $，$ b_{n + 1} = b_1 $，可得 $ - 2a_1 \equiv - 2b_1(mod 3) $，则 $ a_1 = b_1 $，

同理可证：对任意 $ i \in \{2,3,·s,n\} $，均有 $ a_i = b_i $，所以 $ A_{k - 1} = A_{k - 1 + t} $.

以此类推，有 $ A_{k - 2} = A_{k - 2 + t} $，$ ·s $，$ A_0 = A_t $，所以对于任意 $ A_0 $ 均存在整数 $ t $，使得 $ A_0 = A_t $，

在 $ A_0 $ 变化时，所有 $ t $ 的最小公倍数 $ m $，即为数列组 $ \{A_j\} $ 的一个周期.

综上，若数列组 $ \{A_j\} $ 存在周期，则 $ n = 2k + 1 $ 且 $ k \in \mathbf{N}^* $.