《2025年天星教育试题调研数学第10辑》

新定义·闵氏距离,新融合·计算机科学 在计算机科学中,闵氏距离是机器学习算法的基础,常用于测量数据点之间的相似性或差异性.设两组数据分别为$A=(a_{1},a_{2},·s,a_{n})$和$B=(b_{1},b_{2},·s,b_{n})$,则这两组数据间的闵氏距离为$d_{AB}(q)=[\sum_{k = 1}^{n}|a_{k}-b_{k}|^{q}]^{\frac{1}{q}}$,其中$q$表示阶数.若$A=(a,e^{a})$,$B=(b,b - 1)$,$a,b\in R$,则$d_{AB}(2)$的最小值为.

答案： 解析 由题意知$d_{AB}(2)=\sqrt{(a - b)^{2}+[e^{a}-(b - 1)]^{2}}$,
【技法速通】将$q = 2$,两组数据$A$,$B$对应项分别代入闵氏距离的计算公式,直接化简,结合化简后代数式的结构,联想两点间的距离公式,利用该式的几何意义求解即可
则$d_{AB}(2)$可看作平面上的动点$M(a,e^{a})$与动点$N(b,b - 1)$之间的距离.
设$f(x)=e^{x}$,$g(x)=x - 1$,则点$M$在曲线$y = f(x)$上,点$N$在直线$y = g(x)$上.
设曲线$y = f(x)$斜率为$1$的切线对应的切点为$(x_{0},y_{0})$,则$f'(x_{0})=e^{x_{0}}=1$,所以$x_{0}=0$,$y_{0}=1$,则切线方程为$y = x + 1$.
直线$y = x - 1$与$y = x + 1$间的距离为$\frac{|1-(-1)|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}$,所以$d_{AB}(2)$的最小值为$\sqrt{2}$.

新定义·"重心最低"原理,新融合·物理 带着数学的眼光看世界,则生活中处处有数学.以一种常见的生活用品——酒杯为例,根据其造型,不妨将其抽象为开口向上的抛物线,并假设其内壁足够光滑.将一定长度,质量分布均匀,各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中,想要研究小木棍自然静止下来后所处位置的特征.查阅资料后可知,物理中有被称为"重心最低"的原理:一般地,物体的重心越低,则越稳定.
(1)试将"重心最低"原理抽象为这一抛物线酒杯模型中的数学语言,并借助该原理给出研究结论.
【注】①请将"抽象出的数学问题:$×××……$"与"问题解答:$×××……$"分开书写,不明确问题直接开始解答的不得分;②自行定义必要的字母记号,并配以相应的图形说明.
(2)将许多长短不一(但均足够长)的小木棍丢入酒杯中(粗细以及木棍互相碰撞的影响忽略不计),待它们全部自然静止后,发现它们全部交汇于同一点,请解释该现象.

答案：

解析
(1)抽象出的数学问题:
如图1,已知抛物线$x^{2}=2py(p\gt0)$有一条长度为$L(L\gt0)$的动弦$AB$,弦$AB$满足什么条件时,$AB$的中点$M$到$x$轴的距离最小?
【障碍速通】将木棍抽象为动弦$AB$,木棍的重心即弦$AB$的中点,根据"重心最低"原理,可转化为$AB$的中点到$x$轴的距离最小,从而抽象为数学问题
问题解答:
由题意知直线$AB$的斜率存在,设直线$AB:y = kx + m$,$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$,
由$\begin{cases}x^{2}=2py\\y = kx + m\end{cases}$,得关于$x$的方程$x^{2}-2pkx-2pm = 0$,则$\Delta = 4p^{2}k^{2}+8pm\gt0$,$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=2pk\\x_{1}x_{2}=-2pm\end{cases}$,
所以$y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2})+2m = 2pk^{2}+2m$,则$AB$的中点$M(pk,pk^{2}+m)$.
$|AB|=L=\sqrt{1 + k^{2}}|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{1 + k^{2}}\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{1 + k^{2}}\sqrt{4p^{2}k^{2}+8pm}$,变形得$m=\frac{L^{2}}{8p(1 + k^{2})}-\frac{pk^{2}}{2}$.
$M$到$x$轴的距离为$|pk^{2}+m|=\frac{pk^{2}}{2}+\frac{L^{2}}{8p(1 + k^{2})}=\frac{p(k^{2}+1)}{2}+\frac{L^{2}}{8p(1 + k^{2})}-\frac{p}{2}$.
【技法速通】观察上述多项式前2项的结构特征,将第1项配凑出$k^{2}+1$,再整体换元,利用基本不等式或函数的性质求最值
令$k^{2}+1 = t$,则$t\geqslant1$,设$f(t)=\frac{pt}{2}+\frac{L^{2}}{8pt}-\frac{p}{2}$.
①当$L\geqslant2p$时,函数$f(t)\geqslant2\sqrt{\frac{pt}{2}·\frac{L^{2}}{8pt}}-\frac{p}{2}=\frac{L - p}{2}$,
当且仅当$\frac{pt}{2}=\frac{L^{2}}{8pt}$,即$t = k^{2}+1=\frac{L}{2p}$时取等号,
此时$m=\frac{L^{2}}{8p(1 + k^{2})}-\frac{pk^{2}}{2}=\frac{L^{2}}{8p·\frac{L}{2p}}-\frac{p(\frac{L}{2p}-1)}{2}=\frac{p}{2}$,
因此直线$AB:y = kx+\frac{p}{2}$恒过抛物线焦点$(0,\frac{p}{2})$.
②当$0\lt L\lt2p$时,函数$f(t)$在$1,+\infty)$上单调递增,那么$f(t)\geqslant f(1)=\frac{L^{2}}{8p}$.
当$t = k^{2}+1 = 1$,即$k = 0$时,$AB$的中点$M$到$x$轴的距离最小,为$\frac{L^{2}}{8p}$,此时$A$,$B$关于$y$轴对称.
回归实际问题,研究结论是:
当木棍长$L\in2p,+\infty)$时,小木棍自然静止下来后木棍过抛物线的焦点;
当木棍长$L\in(0,2p)$时,小木棍自然静止下来后木棍处于水平位置.
(2)小木棍足够长,可以认为木棍长度$L$均满足$L\geqslant2p$.
由
(1)可知,当$L\geqslant2p$时,将许多长短不一(但均足够长)的小木棍丢入酒杯中,待它们全部自然静止后,它们全部交汇于一点,即抛物线的焦点.