《2025年天星教育试题调研数学第10辑》

试题调研原创 设$a=\frac{1}{5}$，$b=\ln(1+\sin\frac{1}{5})$，$c = e^{-\frac{4}{5}}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是()

A.$a ＜ b ＜ c$
B.$b ＜ a ＜ c$
C.$b ＜ c ＜ a$
D.$c ＜ a ＜ b$

答案： $B$　　
常规解$ $设$f(x)=x-sin x$，$x\in(0,1)，$则$f'(x)=1-\cos x＞0，$所以$f(x)=x-\sin x$在$(0,1)$上单调递增，所以$f(\frac{1}{5})＞0-\sin0 = 0，$即$\frac{1}{5}＞\sin\frac{1}{5}，$所以$b=\ln(1+\sin\frac{1}{5})＜\ln(1+\frac{1}{5})。$　　
$【$技法速通$】$都知道比大小问题要构造函数，但像本题比较$a$与$b$的时候，直接构造函数$y = x-\ln(1+\sin x)$显然不妥$($因为同时含有超越函数中的对数函数和三角函数$)，$因此需要寻找$“$中间函数$”$过渡一下，先把三角函数消掉，再作差构造　　
设$g(x)=x-\ln(x + 1)，$$x\in(0,1)，$则$g'(x)=1-\frac{1}{x + 1}=\frac{x}{x + 1}＞0，$所以$g(x)=x-\ln(x + 1)$在$(0,1)$上单调递增，所以$g(\frac{1}{5})＞0-\ln(0 + 1)=0，$即$\frac{1}{5}＞\ln(1+\frac{1}{5})＞\ln(1+\sin\frac{1}{5})，$所以$a ＞ b。$　　
设$h(x)=e^{x - 1}-x(x ＞ 0)，$则$h'(x)=e^{x - 1}-1 ＜ 0$在$(0,1)$上恒成立，故$h(x)$在$(0,1)$上单调递减，所以$h(\frac{1}{5})＞e^{1 - 1}-1 = 0，$即$e^{-\frac{4}{5}}＞\frac{1}{5}，$所以$c = e^{-\frac{4}{5}}＞a。$故$c ＞ a ＞ b。$故选$B。$　　
快招解题$ $由指数型超越不等式$e^{x}\geq x + 1$可得$c = e^{-\frac{4}{5}}＞-\frac{4}{5}+1=\frac{1}{5}。$　　
由三角型超越不等式$\sin x ＜ x(0 ＜ x ＜\frac{\pi}{2})$可得$\ln(1+\sin\frac{1}{5})＜\ln(1+\frac{1}{5})，$　　
由对数型超越不等式$\ln(x + 1)\leq x$可得$\ln(1+\frac{1}{5})＜\frac{1}{5}，$所以$b ＜\frac{1}{5}。$　　
又$a=\frac{1}{5}，$所以$b ＜ a ＜ c。$故选$B。$