《2025年天星教育试题调研数学第10辑》

[2025 江苏苏州 2 月检测]为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成. 比赛要求每轮两局，每局比赛两队需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得 1 分，否则得 0 分(不考虑平局). 设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响. 已知甲队机器人 $a$，$b$ 每局比赛获胜的概率分别为 $\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$.
(1)设前两轮比赛中甲队得 3 分为事件 $A$，前两轮比赛中机器人 $a$ 得 2 分为事件 $B$，求 $P(B|A)$.
(2)规定当一队得分比另一队得分多 2 分时比赛结束，受机器人电池续航能力影响，本次比赛最多进行 10 轮. 设比赛结束时共进行了 $X$ 轮，求 $X$ 的数学期望.

答案：

(1)设前两轮比赛中机器人 $a$ 得 $i$ 分为事件 $C_i$，机器人 $b$ 得 $j$ 分为事件 $D_j$，其中 $i$，$j = 0$，$1$，$2$，

则 $P(C_1) = C_2^1\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$，$P(C_2) = C_2^2(\frac{1}{2})^2×(1 - \frac{1}{2})^0 = \frac{1}{4}$，

$P(D_1) = C_2^1(\frac{3}{5})^1×(1 - \frac{3}{5})^1 = \frac{12}{25}$，$P(D_2) = C_2^2(\frac{3}{5})^2×(1 - \frac{3}{5})^0 = \frac{9}{25}$，

由题意得 $A = C_1D_2 + C_2D_1$，$AB = C_2D_1$，

∵ 各轮比赛，各局比赛结果互不影响，$C_1D_2$ 与 $C_2D_1$ 互斥，

∴ $P(A) = P(C_1D_2) + P(C_2D_1) = P(C_1)P(D_2) + P(C_2)P(D_1) = \frac{1}{2}×\frac{9}{25} + \frac{1}{4}×\frac{12}{25} = \frac{3}{10}$，

$P(AB) = P(C_2D_1) = P(C_2)P(D_1) = \frac{1}{4}×\frac{12}{25} = \frac{3}{25}$，

∴ $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{2}{5}$.

(2)由题意知 $X$ 的所有可能取值为 $1$，$2$，$·s$，$10$，设第 $k$ 轮甲、乙两队比分为 $1:1$ 为事件 $E_k$，$k = 1$，$2$，$·s$，$9$，

∵ 各局比赛互不影响，
∴ $P(E_k) = \frac{1}{2}×(1 - \frac{3}{5}) + (1 - \frac{1}{2})×\frac{3}{5} = \frac{1}{2}$，$P(\overline{E_k}) = 1 - P(E_k) = \frac{1}{2}$，

由题意知，当 $k = 1$ 时，$P(X = 1) = P(\overline{E_1}) = \frac{1}{2}$，

当 $2 \leq k \leq 9$ 时，事件“$X = k$”是事件“$E_1E_2·s E_{k - 1}\overline{E_k}$”，$k = 2$，$3$，$·s$，$9$，

则 $P(X = k) = P(E_1)P(E_2)·s P(E_{k - 1})P(\overline{E_k}) = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}×·s×\frac{1}{2}×\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^k$，$k = 2$，$3$，$·s$，$9$.

由题意知，$P(X = 10) = P(E_1)P(E_2)·s P(E_9) = (\frac{1}{2})^9$，

∴ $E(X) = 1×\frac{1}{2} + 2×(\frac{1}{2})^2 + ·s + 9×(\frac{1}{2})^9 + 10×(\frac{1}{2})^9$，

【构模 + 定性】利用数学期望的计算公式表示出所求目标，从而转化为数列求和问题

设 $S = 1×\frac{1}{2} + 2×(\frac{1}{2})^2 + ·s + 9×(\frac{1}{2})^9$，则 $\frac{1}{2}S = 1×(\frac{1}{2})^2 + ·s + 8×(\frac{1}{2})^9 + 9×(\frac{1}{2})^{10}$，

【析模】“等差 × 等比”型的数列一般利用错位相减法求和，求和时注意对项数的处理，不要遗漏最后一项

∴ $S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + ·s + (\frac{1}{2})^9 - 9×(\frac{1}{2})^{10}$，

∴ $\frac{1}{2}S = 1 - (\frac{1}{2})^9 - 9×(\frac{1}{2})^{10}$，
∴ $S = 2 - 11×(\frac{1}{2})^9$，

∴ $E(X) = 2 - (\frac{1}{2})^9 = \frac{1023}{512}$.