《2025年天星教育试题调研数学第10辑》

[2025 河北衡水 2 月检测](多选)等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n,a_2 + a_4 = 10,S_7 = 49$，则下列说法正确的是()

A.$a_3 = 5$
B.$a_n = 3n - 3$
C.$S_n = n^2$
D.若$b_n = (-1)^na_n$，则$\{b_n\}$的前 20 项和$T_{20} = 20$

答案： 常规解
根据题意，由等差数列的性质可得$a_2 + a_4 = 2a_3 = 10$，所以$a_3 = 5$，A 正确。
$S_7 = 49$，所以$\frac{7×(a_1 + a_7)}{2} = 49$，可得$a_1 + a_7 = 14$，
设数列$\{a_n\}$的公差为$d$，则$2a_1 + 6d = 14$，
结合$a_1 + 2d = 5$，可得$a_1 = 1,d = 2$，
【障碍速通】根据等差数列的性质计算公差和首项是解题的关键
所以$a_n = a_1 + (n - 1)d = 2n - 1$，B 错误。
$S_n = \frac{n(1 + 2n - 1)}{2} = n^2$，C 正确。
因为$b_n = (-1)^na_n$，所以$b_n = (-1)^n(2n - 1)$，
所以$T_{20} = b_1 + b_2 + b_3 + ·s + b_{20} = -1 + 3 - 5 + 7 - ·s + 39 = (-1 + 3) + (-5 + 7) + ·s + (-37 + 39) = 2×10 = 20$，D 正确。
【障碍速通】利用并项法求和，注意奇偶项的正负
故选 ACD。