《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

14. 如图，在平面直角坐标系中，$ \triangle ABC $ 顶点坐标分别是 $ A(1, 2) $，$ B(1, 1) $，$ C(3, 1) $，以原点为位似中心，在原点的同侧画 $ \triangle DEF $，使 $ \triangle DEF $ 与 $ \triangle ABC $ 成位似图形，且位似比为 $ 2 : 1 $，则线段 $ DF $ 的长度为(D)

A.$ \sqrt{5} $
B.$ 2 $
C.$ 4 $
D.$ 2\sqrt{5} $

答案： 14.D

15. (梧州中考)如图，以点 $ O $ 为位似中心，作四边形 $ ABCD $ 的位似图形 $ A'B'C'D' $，已知 $ \dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{1}{3} $，若四边形 $ ABCD $ 的面积是 $ 2 $，则四边形 $ A'B'C'D' $ 的面积是(D)

A.$ 4 $
B.$ 6 $
C.$ 16 $
D.$ 18 $

答案： 15.D

16. $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A'B'C' $ 位似，且 $ A(-1, 2) $，$ B(-2, 2) $，$ C(-1, 4) $，$ A'(0, 0) $，$ B'(2, 0) $，$ C'(0, -4) $，则 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A'B'C' $ 的位似比是$\frac{1}{2}$.

答案： 16.$\frac{1}{2}$

17. (嘉兴中考)如图，在直角坐标系中，$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ODE $ 是位似图形，则它们位似中心的坐标是(4,2).

答案： 17.(4,2)

18. （河池中考）如图，在平面直角坐标系中，$ \triangle ABC $ 的三个顶点的坐标分别为 $ A(4, 1) $，$ B(2, 3) $，$ C(1, 2) $.
(1) 画出与 $ \triangle ABC $ 关于 $ y $ 轴对称的 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $；
(2) 以原点 $ O $ 为位似中心，在第三象限内画一个 $ \triangle A_{2}B_{2}C_{2} $，使它与 $ \triangle ABC $ 的相似比为 $ 2 : 1 $，并写出点 $ B_{2} $ 的坐标.

答案：
18.解：
(1)如图，△A₁B₁C₁为所作；

(2)如图，△A₂B₂C₂为所作，点B₂的坐标为(-4,-6).

19. 如图，已知 $ M $，$ N $ 分别为锐角 $ \angle AOB $ 的边 $ OA $，$ OB $ 上的点，$ ON = 6 $，把 $ \triangle OMN $ 沿 $ MN $ 折叠，点 $ O $ 落在点 $ C $ 处，$ MC $ 与 $ OB $ 交于点 $ P $，若 $ MN = MP = 5 $，则 $ PN $ 的长为(D)

A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ \dfrac{8}{3} $
D.$ \dfrac{10}{3} $

答案： 19.D

20. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ E $，$ F $ 分别为边 $ BC $，$ CD $ 的中点，线段 $ AE $，$ AF $ 与对角线 $ BD $ 分别交于点 $ G $，$ H $.设矩形 $ ABCD $ 的面积为 $ S $，则以下 $ 4 $ 个结论：① $ AG : GE = 2 : 1 $；② $ BG : GH : HD = 1 : 1 : 1 $；③ $ S_{1} + S_{2} + S_{3} = \dfrac{1}{3}S $；④ $ S_{2} : S_{4} : S_{6} = 1 : 2 : 4 $.其中正确的结论有①②③④.(填序号)

答案： 20.①②③④

21. 在矩形中，若宽与长的比是 $ \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} $，则这个矩形叫黄金矩形，如图(1)，已知黄金矩形 $ ABCD $ 的宽 $ AB = 1 $.
(1) 黄金矩形 $ ABCD $ 的长 $ BC = $$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$；
(2) 如图(2)，将图(1)中的黄金矩形裁剪掉一个以 $ AB $ 为边的正方形 $ ABEF $，得到新的矩形 $ DCEF $，猜想矩形 $ DCEF $ 是否为黄金矩形，并证明你的猜想；
(3) 在图(2)中，连接 $ AE $，求点 $ D $ 到线段 $ AE $ 的距离.

答案： 21.解：
(1)$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
(2)矩形DCEF是黄金矩形，证明：
由裁剪可知AB=AF=BE=EF=CD=1，
根据黄金矩形的性质可知AD=BC=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴FD=EC=AD - AF=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ - 1=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\frac{FD}{EF}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴矩形DCEF是黄金矩形.
(3)连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G.
∵AB=EF=1，四边形ABEF是正方形，
∴AE=$\sqrt{1^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{2}$.
在△AED中，$S_{△AED}$=$\frac{1}{2}$·AD·EF=$\frac{1}{2}$·AE·DG，
即$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$×1=$\sqrt{2}$DG，解得DG=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$，
∴点D到线段AE的距离为$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$.