《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

4. 已知，$\triangle ABC$ 中，$ AB = AC $，点 $ D $ 在 $ BC $ 边上，点 $ E $ 在 $\triangle ABC$ 的外部，连接 $ AD $，$ AE $，$ CE $，且 $ AD = AE $，$\angle BAC = \angle DAE $。
(1) 如图（1），求证：$ BD = CE $；
(2) 如图（2），当 $\angle BAC = 108^{\circ}$，$ AD = BD $ 时，连接 $ DE $ 交 $ AC $ 于点 $ F $，如果把顶角为 $ 36^{\circ} $ 的等腰三角形称为黄金三角形，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图（2）中四个黄金三角形。

答案： 4.
(1)证明：$\because\angle BAC = \angle DAE$，
$\therefore\angle BAC - \angle DAC = \angle DAE - \angle DAC$.
$\therefore\angle BAD = \angle CAE$.
$\because AB = AC$，$AD = AE$，
$\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$.$\therefore BD = CE$.
(2)$\triangle CAD$，$\triangle ADF$，$\triangle DCE$，$\triangle CEF$都是黄金三角形.

5. 某农庄在销售葡萄时，要求葡萄用双层上盖的长方体纸箱封装（上盖纸板面积刚好等于底面面积的 $ 2 $ 倍），如图所示。
(1) 实际运用：要求纸箱的高为 $ 0.5m $，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为 $ 0.6 $），体积为 $ 0.3m^3 $。
① 按方案 1（如图）做一个纸箱，需要矩形硬纸板 $ A_1B_1C_1D_1 $ 的面积是多少平方米？
② 小明认为，从节省材料的角度考虑，采用方案 2（如图）的菱形硬纸板 $ A_2B_2C_2D_2 $ 做一个纸箱比方案 1 更优，你认为呢？请说明理由。
(2) 拓展思维：水果商打算在产地购进一批葡萄，但他感觉（1）中的纸箱体积太大，搬运起来较吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用方程思想进行验证。

答案：
5.解：
(1)①由题意知纸箱的高为$0.5\ m$，底面是黄金矩形(宽与长的比是黄金比，取黄金比为$0.6$)，体积为$0.3\ m^{3}$.
设底面长为$x\ m$，则宽为$0.6x\ m$，
$\therefore$纸箱的体积为$0.6x· x·0.5 = 0.3$，解得$x = 1$，
$\therefore AD = 1\ m$，$CD = 0.6\ m$，$DW = KA = DT = JC = 0.5\ m$，
$FT = JH = \frac{1}{2}CD = 0.3\ m$，$WQ = MK = \frac{1}{2}AD = 0.5\ m$，
$\therefore QM = 0.5 + 0.5 + 1 + 0.5 + 0.5 = 3(m)$，
$FH = 0.3 + 0.5 + 0.6 + 0.5 + 0.3 = 2.2(m)$，
$\therefore$矩形硬纸板$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的面积为$3×2.2 = 6.6(m^{2})$.
②如图，连接$A_{2}C_{2}$，$B_{2}D_{2}$相交于点$O_{2}$.
　　　
设$\triangle D_{2}EF$中$EF$边上的高为$h_{1}$，$\triangle A_{2}NM$中$NM$边上的高为$h_{2}$，由$\triangle D_{2}EF\sim\triangle D_{2}MQ$，得
$\frac{h_{1}}{h_{1}+0.3 + 0.5}=\frac{1}{3}$，解得$h_{1}=0.4\ m$，
同理可得$h_{2}=\frac{3}{8}m$，$\therefore A_{2}C_{2}=\frac{15}{4}m$，$B_{2}D_{2}=3\ m$.
又$\because$四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$是菱形，
$\therefore S_{菱形A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}}=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×3 = 5.625(m^{2})$，
$\therefore$从节省材料的角度考虑，采用方案2(如图)的菱形硬纸板$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$做一个纸箱比方案1更优.
(2)水果商的要求不能办到.
设底面的长与宽分别为$x$，$y$，则$x + y=\frac{1 + 0.6}{2}=0.8$，
$xy=\frac{1×0.6}{2}=0.3$，
$\therefore x(0.8 - x)=0.3$，整理得$x^{2}-0.8x + 0.3 = 0$.
$\because\Delta=(-0.8)^{2}-4×1×0.3=-0.56＜0$，
$\therefore$方程无解，$\therefore$水果商的要求不能办到.

(达州中考)如图，乐器上的一根弦 $ AB = 80cm $，两个端点 $ A $，$ B $ 固定在乐器板面上，支撑点 $ C $ 是靠近点 $ B $ 的黄金分割点，支撑点 $ D $ 是靠近 $ A $ 的黄金分割点，$ C $，$ D $ 之间的距离为 $(80\sqrt{5}-160)\ cm$。

答案： $(80\sqrt{5}-160)\ cm$