《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

2. (沁阳模拟)如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle B = 90^{\circ} $，$ \angle ACB = 45^{\circ} $，延长 $ BC $ 到点 $ D $，使 $ CD = AC $，则 $ \tan 22.5^{\circ} = $(B)

A.$ \sqrt{2} + 1 $
B.$ \sqrt{2} - 1 $
C.$ \frac{\sqrt{2} + 1}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{2} - 1}{2} $

答案： 2.B

3. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，各边都扩大 $ 5 $ 倍，则 $ \tan A $ 的值(A)

A.不变
B.扩大 $ 5 $ 倍
C.缩小为原来的 $ \frac{1}{5} $
D.扩大 $ 10 $ 倍

答案： 3.A

4. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 都在格点处，$ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ O $，则 $ \tan \angle AOC $ 的值为3。

答案： 4.3

5. 如图，矩形 $ ABCD $ 的四个顶点分别在直线 $ l_3 $，$ l_4 $，$ l_2 $，$ l_1 $ 上，若直线 $ l_1 // l_2 // l_3 // l_4 $ 且间距相等，$ AB = 3 $，$ BC = 2 $，则 $ \tan \alpha $ 的值为(B)

A.$ \frac{3}{8} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{\sqrt{5}}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{15}}{15} $

答案： 5.B

6. 如图所示，$ \triangle ABC $ 的顶点是正方形网格的格点，则 $ \tan A $ 的值为(A)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
C.$ \frac{\sqrt{10}}{10} $
D.$ 2 $

答案： 6.A

7. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中，若 $ \tan A · \tan 38^{\circ} = 1 $，则 $ \angle A $ 的度数为$52^{\circ}$。

答案： 7.$52^{\circ}$

8. 已知：正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 2 $，点 $ P $ 是直线 $ CD $ 上一点。若 $ DP = 1 $，则 $ \tan \angle BPC $ 的值是2或$\frac{2}{3}$。

答案： 8.2或$\frac{2}{3}$

9. 学习过正切后，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作顶角的正对($ sad $)。如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，顶角 $ A $ 的正对记作 $ sad A $，这时 $ sad A = \frac{底边}{腰长} = \frac{BC}{AB} $。容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
(1)$ sad 60^{\circ} $ 的值为(B)
A. $ \frac{1}{2} $
B. $ 1 $
C. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D. $ 2 $
(2)对于 $ 0^{\circ} ＜ A ＜ 180^{\circ} $，$ \angle A $ 的正对值 $ sad A $ 的取值范围是$0＜\sad A＜2$；
(3)已知 $ \tan A = \frac{3}{4} $，其中 $ \angle A $ 为锐角，试求 $ sad A $ 的值。

答案： 9.
(1)B　
(2)$0＜\sad A＜2$
(3)解:在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\tan A=\frac{3}{4}$.
延长$AC$至点$D$,使$AB=AD$,连接$BD$.令$BC=3k$,
$AC=4k$,则$AB=5k=AD$,
∴$CD=k$.
在$Rt\triangle BCD$中,$BD=\sqrt{k^{2}+(3k)^{2}}=\sqrt{10}k$.
∴在等腰三角形$ABD$中,$AD=AB=5k$,$BD=\sqrt{10}k$.
由正对的定义,得$\sad A=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.

(荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $，$ B $ 分别在 $ x $ 轴负半轴和 $ y $ 轴正半轴上，点 $ C $ 在 $ OB $ 上，$ OC : BC = 1 : 2 $，连接 $ AC $，过点 $ O $ 作 $ OP // AB $ 交 $ AC $ 的延长线于点 $ P $。若 $ P(1,1) $，则 $ \tan \angle OAP $ 的值是(C)

A.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
B.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ 3 $

答案： 中考在线
C