《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

2. 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若△AOB 的面积为 2，则矩形 ABCD 的面积为(C)

A.4
B.6
C.8
D.10

答案： 2.C

3. (夏邑模拟)如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若 BC=12，OB=6.5，则 OM 的长为(B)

A.1
B.2.5
C.3
D.5

答案： 3.B

4. 已知一个直角三角形的斜边长为 16，则这个直角三角形斜边上的中线长为8.

答案： 4.8

5. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AB=6，BC=8，过点 O 作 OE⊥AC，交 AD 于点 E，过点 E 作 EF⊥BD，垂足为 F，则 OE+EF 的值为(C)

A.$\frac{48}{5}$
B.$\frac{32}{5}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{12}{5}$

答案： 5.C

6. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=12，点 P 在对角线 BD 上，且 BP=BA.连接 AP 并延长，交 DC 的延长线于点 Q，连接 BQ，则 BQ 的长为3$\sqrt{17}$.

答案： 6.3$\sqrt{17}$

7. 如图，在矩形 ABCD 中，点 M 在 DC 上，AM=AB 且 BN⊥AM，垂足为 N.
(1)求证：△ABN≌△MAD；
(2)若 AD=2，AN=4，求四边形 BCMN 的面积.

答案： 7.
(1)证明：在矩形ABCD中，∠D=90°,DC//AB，
∴∠BAN=∠AMD.
∵BN⊥AM,
∴∠BNA=∠D=90°.
∵AM=AB,
∴△ABN≌△MAD(AAS).
(2)4$\sqrt{5}$ - 8.

8. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，E 为 CD 边的中点，P 为矩形 ABCD 边上的动点.点 P 从 A 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着 A→B→C 运动，设点 P 运动的时间为 t s.
(1)当△APE 是以 EP 为腰的等腰三角形时，求 t 的值.
(2)当点 P 在线段 BC 上运动时，是否存在点 P 使得△APE 的周长最小？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由.

答案：
8.解：
(1)当AE=PE时，点E在AP的垂直平分线上.
∵四边形ABCD是矩形，E为CD边的中点，
∴CE=DE=2，点E在AB的垂直平分线上，
∴此时点P与点B重合，
∴AP=AB=4,
∴t=$\frac{4}{2}$=2.当EP=AP时，点P在BC上，由勾股定理可得AB^{2}+BP^{2}=EC^{2}+CP^{2}，即16+BP^{2}=4+(6 - BP)^{2}，解得BP=2,
∴t=$\frac{4+2}{2}$=3.综上所述，当t=2或3时，△APE是以EP为腰的等腰三角形.
(2)如图，延长EC到点E'，使得E'C=EC，连接AE'，交BC于点P.由对称可知此时△APE周长最短.
∵E'C=EC=2=DE,
∴DE'=6=AD，
∴∠DAE'=45°.
∴∠BAP=∠BPA=45°.
∴AB=BP=4.
∴t=$\frac{4+4}{2}$=4.即存在点P使△APE的周长最小，此时t的值为4.

(吉林中考)如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是边 AD 的中点，点 F 在对角线 AC 上，且 AF=$\frac{1}{4}$AC，连接 EF.若 AC=10，则 EF=$\frac{5}{2}$.

答案： 中考在线
$\frac{5}{2}$