《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，用绳子围成周长为 $ 10 \, m $ 的矩形，记矩形的一边长为 $ x \, m $，它的邻边长为 $ y \, m $，矩形的面积为 $ S \, m^{2} $. 当 $ x $ 在一定范围内变化时，$ y $ 和 $ S $ 都随 $ x $ 的变化而变化，则 $ y $ 与 $ x $，$ S $ 与 $ x $ 满足的函数关系分别是()

A.一次函数关系，二次函数关系
B.反比例函数关系，二次函数关系
C.一次函数关系，反比例函数关系
D.反比例函数关系，一次函数关系

答案： 1.A

2. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 $ ABCD $，其中 $ \angle C = 120^{\circ} $. 若新建墙 $ BC $ 与 $ CD $ 总长为 $ 12 \, m $，则该梯形储料场 $ ABCD $ 的最大面积是()

A.$ 18 \, m^{2} $
B.$ 18\sqrt{3} \, m^{2} $
C.$ 24\sqrt{3} \, m^{2} $
D.$ \dfrac{45\sqrt{3}}{2} \, m^{2} $

答案： 2.C

3. 如图，用一根 $ 60 \, cm $ 的铁丝制作一个“日”字形框架 $ ABCD $，铁丝恰好全部用完.
(1)若所围成的矩形框架 $ ABCD $ 的面积为 $ 144 \, cm^{2} $，则 $ AB $ 的长为 $ cm $；
(2)矩形框架 $ ABCD $ 面积的最大值为 $ cm^{2} $.

答案： 3.
(1)$12$或$8$
(2)$150$

4. 如图，四边形 $ ABCD $ 是正方形，$ AB = 6 $，四边形 $ EFGH $ 也是正方形. 点 $ E $，$ F $，$ G $，$ H $ 分别位于正方形 $ ABCD $ 的四条边上. 点 $ E $ 在 $ AB $ 边上移动时，正方形 $ EFGH $ 面积也随之改变，当 $ AE $ 的长度为多少时，正方形 $ EFGH $ 的面积最小？并求出最小面积.

答案： 4.解：设$AE = x$，则$BE = 6 - x$.在正方形$ABCD$中，$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$，在正方形$EFGH$中，$EH = EF$，$\angle HEF = 90^{\circ}$，$\therefore\angle AEH+\angle BEF = 90^{\circ}$.$\because\angle AEH+\angle AHE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle AHE=\angle BEF$，$\triangle AHE\cong\triangle BEF(AAS)$.同理可证$\triangle BEF\cong\triangle CFG\cong\triangle DGH$，$\therefore AE = BF = CG = DH = x$，$AH = BE = CF = DG = 6 - x$.在$Rt\triangle BEF$中，由勾股定理，得$EF^2=BE^2 + BF^2=(6 - x)^2 + x^2$，$\therefore$正方形$EFGH$的面积$S = EF^2=(6 - x)^2 + x^2 = 2x^2 - 12x + 36 = 2(x - 3)^2 + 18$，$\therefore$当$AE = 3$(即$E$为$AB$边的中点)时，正方形$EFGH$的面积最小，最小的面积为$18$.

5. 为了节省材料，某工厂利用岸堤 $ MN $(岸堤足够长)为一边，用总长为 $ 80 \, m $ 的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形 $ ABCD $ 区域(如图)，若 $ BC = (x + 20) \, m $，则下列四个结论：① $ AB = (10 - 1.5x) \, m $；② $ BC = 2CF $；③ $ AE = 2BE $；④长方形 $ ABCD $ 的最大面积为 $ 300 \, m^{2} $. 其中正确结论的序号是()

A.①②
B.①③
C.②③
D.③④

答案： 5.D

6. 如图，已知正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 8 $，点 $ E $，$ F $ 分别在边 $ AD $，$ BC $ 上，$ AE = CF = 3 $，点 $ G $，$ H $ 在正方形 $ ABCD $ 的内部或边上. 若四边形 $ EGFH $ 是菱形，则菱形 $ EGFH $ 的最大面积为.

答案： 6.$34$

7. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 6 \, cm $，$ BC = 8 \, cm $，点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿边 $ AB $ 向终点 $ B $ 以 $ 1 \, cm/s $ 的速度移动，与此同时，点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿边 $ BC $ 向终点 $ C $ 以 $ 2 \, cm/s $ 的速度移动. 如果点 $ P $，$ Q $ 分别从点 $ A $，$ B $ 同时出发，当点 $ Q $ 运动到点 $ C $ 时，两点停止运动，设运动时间为 $ t \, s $.
(1)填空：$ BQ = $ $ cm $，$ PB = $ $ cm $.(用含 $ t $ 的代数式表示)
(2)当 $ t $ 为何值时，$ PQ $ 的长度等于 $ 3\sqrt{5} \, cm $？
(3)当 $ t $ 为何值时，五边形 $ APQCD $ 的面积有最小值？最小值为多少？

答案： 7.
(1)$2t$ $(6 - t)$
(2)在$Rt\triangle BPQ$中，由勾股定理，得$(6 - t)^2+(2t)^2=(3\sqrt{5})^2$.解得$t_1=-\frac{3}{5}$(不合题意，舍去)，$t_2 = 3$.$\therefore$当$t = 3$时，$PQ$的长度等于$3\sqrt{5}\ cm$.
(3)设五边形$APQCD$的面积为$S$.$\because S_{矩形ABCD}=6×8 = 48(cm^2)$，$S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}(6 - t)×2t = 6t - t^2(cm^2)$，$\therefore S = S_{矩形ABCD}-S_{\triangle PBQ}=48-(6t - t^2)=(t - 3)^2 + 39$，$\therefore$当$t = 3$时，五边形$APQCD$的面积有最小值，最小值为$39\ cm^2$.