《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

2. 如图为某班同学在主题班会课上制作象征“平安归来”的黄丝带. 丝带重叠部分形成的图形是(C)

A.三角形
B.矩形
C.菱形
D.正方形

答案： 2 C

3. (鄢陵模拟)下列条件中，能判定平行四边形是菱形的为(A)

A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.有一个角是直角

答案： 3 A

4. 如图，将$\triangle ABC$ 沿着 $BC$ 方向平移得到$\triangle DEF$，只需添加一个条件即可证明四边形 $ABED$ 是菱形，这个条件可以是AD=AB(答案不唯一).(写出一个即可)

答案： 4 AD=AB(答案不唯一)

5. 如图，点 $A$，$F$，$C$，$D$ 在同一直线上，点 $B$ 和点 $E$ 分别在直线 $AD$ 的两侧，且 $AB = DE$，$\angle A = \angle D$，$AF = DC$. 若$\angle DEF = 90^{\circ}$，$DE = 8$，$EF = 6$，则当 $AF =$\frac{14}{5}时，四边形 $BCEF$ 是菱形.

答案： $5 \frac{14}{5}$

6. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AB = AD$，下列条件：①$AC\perp BD$；②$OA = OC$；③$AC$ 平分$\angle BCD$；④$\angle ABC = \angle ADC$. 其中能判定四边形 $ABCD$ 是菱形的有①②④.(填序号)

答案： 6 ①②④

7. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$，$M$ 是 $AC$ 上任一点，$O$ 是 $BD$ 的中点，连接 $MO$ 并延长 $MO$ 到点 $N$，使 $NO = MO$，连接 $BN$ 与 $ND$. 若 $M$ 是 $AC$ 的中点，则四边形 $BNDM$ 的形状是菱形.

答案： 7 菱形

8. 如图，在$Rt\triangle ABC$ 中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AC = 50\ cm$，$\angle A = 60^{\circ}$，点 $D$ 从 $C$ 点沿 $CA$ 方向以 $4\ cm/s$ 的速度向点 $A$ 匀速运动，同时点 $E$ 从 $A$ 点沿 $AB$ 方向以 $2\ cm/s$ 的速度向点 $B$ 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点 $D$，$E$ 运动的时间是 $t\ s(0 ＜ t\leqslant 12.5)$，过点 $D$ 作 $DF\perp BC$ 于点 $F$，连接 $DE$，$EF$.
(1)求证：$AE = DF$.
(2)四边形 $AEFD$ 能够成为菱形吗？若能，求出相应的 $t$ 值；若不能，请说明理由.

答案： 8
(1)证明：在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°,
∴∠C=90°-∠A=30°.
由题意知CD=4t,AE=2t,
∴$DF= \frac{1}{2}CD=2t,$
∴AE=DF.
(2)解：
∵DF⊥BC,
∴∠CFD=90°.
∵∠B=90°,
∴∠B=∠CFD,
∴DF//AB.
由
(1),得DF=AE=2t,
∴四边形ADFE是平行四边形,
当AD=AE时,平行四边形AEFD是菱形,
∴50-4t=2t,解得$t= \frac{25}{3},$
即四边形AEFD能成为菱形,此时$t= \frac{25}{3}.$

(聊城中考)如图，$\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $AB$ 上一点，$E$ 是 $AC$ 的中点，过点 $C$ 作 $CF// AB$，交 $DE$ 的延长线于点 $F$.
(1)求证：$AD = CF$.
(2)连接 $AF$，$CD$. 如果 $D$ 是 $AB$ 的中点，那么当 $AC$ 与 $BC$ 满足什么条件时，四边形 $ADCF$ 是菱形？请证明你的结论.

答案：
(1)证明：
∵CF//AB,
∴∠ADF=∠CFD,∠DAC=∠FCA.
∵E是AC的中点,
∴AE=CE,
∴△ADE≌△CFE(AAS),
∴AD=CF.
(2)解：当AC⊥BC时,四边形ADCF是菱形.
证明：由
(1)知AD=CF.
∵AD//CF,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形.
∵D是AB的中点,
∴$CD= \frac{1}{2}AB=AD,$
∴平行四边形ADCF是菱形.