《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

1. 二次函数 $ y = x^2 + 3 $ 的图象上有两点 $ A(x_1, y_1) $，$ B(x_2, y_2) $，若 $ y_1 ＜ y_2 $，则下列结论正确的是(D)

A.$ 0 \leq x_1 ＜ x_2 $
B.$ x_2 ＜ x_1 \leq 0 $
C.$ x_2 ＜ x_1 \leq 0 $ 或 $ 0 \leq x_1 ＜ x_2 $
D.以上都不对

答案： 1.D

2. 函数 $ y = ax^2 + 1 $ 和 $ y = ax + a $($ a $ 为常数，且 $ a \neq 0 $)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(D)

答案： 2.D

3. 二次函数 $ y = 2x^2 - 1 $ 的图象的顶点坐标是(D)

A.$ (-1, 0) $
B.$ (1, 0) $
C.$ (0, 1) $
D.$ (0, -1) $

答案： 3.D

4. 二次函数 $ y = -3x^2 - 2 $ 的最大值为−2。

答案： 4.−2

5. 写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②与 $ y $ 轴交于点 $ (0, -2) $，这个二次函数的表达式可以是y=−x²−2。

答案： 5.y=−x²−2(答案不唯一)

6. 将二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 + 1 $ 的图象绕原点 $ O $ 旋转 $ 180° $，则旋转后的二次函数的表达式为y=−$\frac{1}{2}$x²−1。

答案： 6.y=−$\frac{1}{2}$x²−1

7. 已知 $ y = (k - 1)x^{k^2 - k} + 4 $ 是二次函数，且函数图象有最低点。
（1）求 $ k $ 的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

答案： 7.
(1)2.　
(2)顶点坐标为(0,4),对称轴是y轴，当x＞0 时，y随x的增大而增大.

8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^2 + 3 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A $，过点 $ A $ 与 $ x $ 轴平行的直线交二次函数 $ y = \frac{1}{3}x^2 $ 的图象于点 $ B $，$ C $，求 $ BC $ 的长度。

答案： 8.6.

9. 如图，一条抛物线与 $ x $ 轴相交于 $ A $，$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧)，其顶点 $ P $ 在线段 $ MN $ 上移动。若点 $ M $，$ N $ 的坐标分别为 $ (-1, -2) $，$ (1, -2) $，点 $ B $ 的横坐标的最大值为 $ 3 $，则点 $ A $ 的横坐标的最小值为(A)

A.$ -3 $
B.$ -1 $
C.$ 1 $
D.$ 3 $

答案： 9.A