《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

1. 写出你所知道的图形面积公式：
$S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$ $S_{长方形}=ah$ $S_{正方形}=a^2$ $S_{圆}=\pi r^2$ …….
2. 将二次函数的一般形式 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 转换为顶点式为$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $ a ＞ 0 $ 时，$ y $ 有最小值，当 $ x = $$-\frac{b}{2a}$时，$ y = $$\frac{4ac-b^2}{4a}$；当 $ a ＜ 0 $ 时，$ y $ 有最大值，当 $ x = $$-\frac{b}{2a}$时，$ y = $$\frac{4ac-b^2}{4a}$.

答案： 1.$S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$ $S_{长方形}=ah$ $S_{正方形}=a^2$ $S_{圆}=\pi r^2$ ……
2.$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$ 小 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ 大 $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$

【例 1】如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地 $ ABCD $，为美化环境，用总长为 $ 100 \, m $ 的篱笆围成四块矩形花圃.（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：$ AE = 3BE $；
（2）在（1）的条件下，设 $ BC $ 的长度为 $ x \, m $，矩形区域 $ ABCD $ 的面积为 $ y \, m^{2} $，求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围.

答案： （1）证明：$\because$矩形$MEFN$与矩形$EBCF$面积相等，$\therefore ME = BE$.$\because$四块矩形花圃的面积相等，即$S_{矩形AMND}=2S_{矩形MEFN}$，$\therefore AM = 2ME$，$\therefore AE = 3BE$.
（2）解：$\because$篱笆总长为$100\ m$，$\therefore 2AB + GH + 3BC = 100\ m$，即$2AB+\frac{1}{2}AB + 3BC = 100\ m$，$\therefore AB=(40-\frac{6}{5}BC)\ m$.$\because BC$的长度为$x\ m$，矩形区域$ABCD$的面积为$y\ m^2$，$\therefore y = BC· AB = x(40-\frac{6}{5}x)=-\frac{6}{5}x^2 + 40x$.$\because AB = 4BE$，$\therefore BE=(10-\frac{3}{10}x)\ m ＞ 0$，解得$x ＜ \frac{100}{3}$，$\therefore y=-\frac{6}{5}x^2 + 40x(0 ＜ x ＜ \frac{100}{3})$.

【例 2】如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 90^{\circ} $，$ AB = 8 \, cm $，$ AC = 6 \, cm $，若动点 $ D $ 从点 $ B $ 出发，沿线段 $ BA $ 运动到点 $ A $ 为止（不考虑点 $ D $ 与点 $ B $，$ A $ 重合的情况），运动速度为 $ 2 \, cm/s $，过点 $ D $ 作 $ DE // BC $ 交 $ AC $ 于点 $ E $，连接 $ BE $，设动点 $ D $ 运动的时间为 $ x \, s $，$ AE $ 的长为 $ y \, cm $.
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
（2）当 $ x $ 为何值时，$ \triangle BDE $ 的面积 $ S $ 有最大值？最大值为多少？

答案： （1）动点$D$运动$x$秒后，$BD = 2x\ cm$.又$\because AB = 8\ cm$，$\therefore AD=(8 - 2x)\ cm$.$\because DE// BC$，$\therefore\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{8 - 2x}{8}=\frac{AE}{6}$，$\therefore AE=\frac{6(8 - 2x)}{8}=(6-\frac{3}{2}x)\ cm$，$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y = 6-\frac{3}{2}x(0 ＜ x ＜ 4)$.
（2）$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}· BD· AE=-\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 6(0 ＜ x ＜ 4)$.$\therefore$当$x = 2$时，$S_{\triangle BDE}$最大，最大值为$6\ cm^2$.