《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

1. 根据定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2. 定理：(1)对角线相等的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是直角的四边形是矩形。

答案： 1有一个角是直角 2
(1)相等 平行四边形
(2)三个角

【例 1】如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$，$G$，$H$分别在边$AB$，$BC$，$CD$，$DA$上，$BE = DG$，$BF = DH$。
（1）求证：四边形$EFGH$是平行四边形；
（2）当$AB = BC$，且$BE = BF$时，求证：四边形$EFGH$是矩形。

答案： 【例1】证明：
(1)在▱ABCD中，
AB=CD,AD=BC,∠B=∠D,∠A=∠C.
∵BE=DG,BF=DH,且∠B=∠D,
∴△BEF≌△DGH(SAS).
∴EF=HG.
同理可证EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)
∵AB=BC,BE=BF,
∴AB=BC=CD=AD,BE=BF=DH=DG.
∴AE=AH.
∵AD//BC,
∴∠B+∠A=180°.
∵BE=BF,AE=AH,
∴$∠BEF=∠BFE=\frac{1}{2}(180°-∠B),∠AEH=∠AHE=\frac{1}{2}(180°-∠A).$
∴∠AEH+∠BEF=90°.即∠FEH=90°.
∴平行四边形EFGH是矩形.

【例 2】如图，在$□ ABCD$中，$E$，$G$分别是$AB$，$CD$的中点，$AH = CF$，$AH // CF$。
（1）求证：$\triangle AEH \cong \triangle CGF$；
（2）连接$FH$，若$FH = AD$，求证：四边形$EFGH$是矩形。

答案： 【例2】证明：
(1)延长AH交CD于点P，延长CF交AB于点Q,在▱ABCD中,AB//CD,AB=CD,
∴AQ//CP.
∵AH//CF,
∴四边形APCQ是平行四边形，
∴∠HAE=∠FCG.
又
∵E,G分别是AB,CD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB,CG=\frac{1}{2}CD,$
∴AE=CG.
又
∵AH=CF,
∴△AEH≌△CGF(SAS).
(2)连接EG.
∵AH//CF,
∴∠AHF=∠HFC.
由
(1)可得∠AHE=∠CFG,HE=FG,
∴∠AHF-∠AHE=∠HFC-∠CFG,即∠EHF=∠GFH,
∴HE//FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
又
∵AE=DG,AB//CD,
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴AD=EG.
∵FH=AD,
∴EG=FH,
∴平行四边形EFGH是矩形.

【例 3】如图，直线$EF // GH$，$MN$与$EF$，$GH$分别相交于$A$，$C$两点，$AB$，$CB$，$CD$，$AD$分别是$\angle EAN$，$\angle GCM$，$\angle MCH$，$\angle FAN$的平分线，求证：四边形$ABCD$是矩形。

答案： 【例3】证明：
∵EF//GH,
∴∠EAC+∠ACG=180°,∠FAC+∠ACH=180°.
∵AB平分∠EAC,CB平分∠ACG,
∴∠BAC+∠ACB=90°,
∴∠B=90°.
同理可证∠D=90°,∠BCD=90°,
∴四边形ABCD是矩形.