《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

1. 二次函数 $ y = ax^2 + c (a \neq 0) $ 的图象是抛物线，性质如下：

2. 二次函数 $ y = ax^2 + c (a \neq 0) $ 的图象可以由 $ y = ax^2 $ 平移而得，当 $ c ＞ 0 $ 时，向上平移|c|个单位长度；当 $ c ＜ 0 $ 时，向下平移|c|个单位长度。

答案： 1.抛物线　向上　y轴　(0,c)　增大　减小　c 　向下　y轴　(0,c)　减小　增大　c
2.上　|c|　下　|c|

【例 1】已知二次函数 $ y = ax^2 $ 与 $ y = -2x^2 + c $。
(1)随着系数 $ a $ 和 $ c $ 的变化，分别说说这两个二次函数图象的变化情况。
(2)若这两个函数图象的形状相同，则 $ a = $±2；若二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象沿 $ y $ 轴向下平移 $ 2 $ 个单位长度就能与 $ y = -2x^2 + c $ 的图象完全重合，则 $ c = $−2。
(3)二次函数 $ y = -2x^2 + c $ 中 $ x $，$ y $ 的几组对应值如下表：

表中 $ m $，$ n $，$ p $ 的大小关系为p＜m＜n。(用“$ ＜ $”连接)

答案：
(1)二次函数y=ax²的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变.二次函数y=−2x²+c的图象随着c的变化,开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是顶点坐标会发生改变.
(2)±2　−2
(3)p＜m＜n

【例 2】已知二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 + 1 $ 具有如下性质：图象上任意一点到定点 $ F(0, 2) $ 的距离与它到 $ x $ 轴的距离相等，如图，点 $ M $ 的坐标为 $ (\sqrt{3}, 3) $，点 $ P $ 是二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 + 1 $ 图象上的一个动点。
（1）当 $ \triangle POF $ 的面积为 $ 4 $ 时，求点 $ P $ 的坐标；
（2）求 $ \triangle PMF $ 周长的最小值。

答案： （1）设P点的坐标为(x,$\frac{1}{4}$x²+1).
∵点F的坐标为(0,2),
∴OF=2,
∴当△POF的面积为4时，$\frac{1}{2}$×2×|x|=4,
解得x=±4,
∴y=$\frac{1}{4}$×(±4)²+1=5,
∴点P的坐标为(−4,5)或(4,5).
（2）过点P作PT⊥x轴于点T.
∵C△PMF=PM+PF+FM=PM+PT+2≥MT+2,
∴当MT⊥x轴时，周长最小,最小值为3+2=5.