《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

10. 如图，二次函数 $ y = ax^2 - 4 $ 和 $ y = -ax^2 + 4 $ 的图象都经过 $ x $ 轴上的 $ A $，$ B $ 两点，两图象的顶点分别为 $ C $，$ D $。当四边形 $ ACBD $ 的面积为 $ 40 $ 时，$ a $ 的值为$\frac{4}{25}$。

答案： 10.$\frac{4}{25}$

11. 如图，在直角坐标系中，过点 $ P(x, 0) $ 作 $ x $ 轴的垂线分别交二次函数 $ y = x^2 + 2 $ 的图象与直线 $ y = -\frac{1}{2}x $ 于 $ A $，$ B $ 两点，以线段 $ AB $ 为对角线作正方形 $ ADBC $，已知点 $ Q(a, b) $ 为该二次函数图象上的点。
（1）若 $ x = 1 $，当点 $ Q $ 在正方形 $ ADBC $ 边上（点 $ A $ 除外）时，则 $ a $ 的值为多少？
（2）若 $ a = -1 $，当点 $ Q $ 在正方形 $ ADBC $ 的内部（包括边界）时，求 $ x $ 的取值范围。

答案： 11.
(1)0.　
(2)2≤x≤4或−$\frac{8}{3}$≤x≤−1.

12. 如图，二次函数 $ m: y = ax^2 + b (a ＜ 0, b ＞ 0) $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $，$ B $(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧)，与 $ y $ 轴交于点 $ C $。将二次函数 $ m $ 的图象绕点 $ B $ 旋转 $ 180° $，得到新的二次函数 $ n $ 的图象，它的顶点为 $ C_1 $，与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ A_1 $。若四边形 $ AC_1A_1C $ 为矩形，则 $ a $，$ b $ 应满足的关系式为(C)

A.$ ab = -1 $
B.$ ab = -2 $
C.$ ab = -3 $
D.$ ab = -5 $

答案： 12.C

13. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，二次函数 $ y = ax^2 - \frac{1}{a} $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A $，点 $ A $ 关于 $ x $ 轴的对称点为点 $ B $。
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）求点 $ B $ 的坐标（用含 $ a $ 的式子表示）；
（3）已知点 $ P(1, \frac{1}{a}) $，$ Q(3, 0) $，若二次函数图象与线段 $ PQ $ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $ a $ 的取值范围。

答案：
13.解:
(1)对称轴为直线x=0.
(2)
∵二次函数y=ax²−$\frac{1}{a}$的图象与y轴交于点A,
∴点A的坐标为(0,−$\frac{1}{a}$).
∵点A关于x轴的对称点为点B,
∴点B的坐标为(0,$\frac{1}{a}$).
(3)当a＞0时，如图
(1).
当二次函数的图象经过点P时，a−$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{a}$,
解得a=$\sqrt{2}$或a=−$\sqrt{2}$(舍去).
当二次函数的图象经过点Q时，9a−$\frac{1}{a}$=0,
解得a=$\frac{1}{3}$或a=−$\frac{1}{3}$(舍去).

∴当$\frac{1}{3}$≤a≤$\sqrt{2}$时，二次函数的图象与线段PQ恰有一个公共点.
当a＜0时，如图
(2).
当二次函数的图象经过点P时，a−$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{a}$,
解得a=−$\sqrt{2}$或a=$\sqrt{2}$(舍去).
当二次函数的图象经过点Q时，9a−$\frac{1}{a}$=0,
解得a=−$\frac{1}{3}$或a=$\frac{1}{3}$(舍去).
∴当−$\sqrt{2}$≤a≤−$\frac{1}{3}$时，二次函数的图象与线段PQ 恰有一个公共点.
综上所述，a的取值范围是$\frac{1}{3}$≤a≤$\sqrt{2}$或−$\sqrt{2}$≤a≤−$\frac{1}{3}$.

1. (淄博中考)若二次函数 $ y = ax^2 + 2 $ 的图象经过 $ P(1, 3) $，$ Q(m, n) $ 两点，则代数式 $ n^2 - 4m^2 - 4n + 9 $ 的最小值为(A)

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： 1.A

2. (湖州中考)将二次函数 $ y = x^2 $ 的图象向上平移 $ 3 $ 个单位长度，所得新二次函数的表达式是(A)

A.$ y = x^2 + 3 $
B.$ y = x^2 - 3 $
C.$ y = (x + 3)^2 $
D.$ y = (x - 3)^2 $

答案： 2.A