《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2. 矩形的性质：(1)矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点；(2)矩形的四个角都是直角；(3)矩形的对角线相等.
3. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

答案： 1.直角
2.
(1)轴 中心 两 对角线的交点
(2)直角
(3)相等
3.等于

【例 1】下列图案中，不是由矩形组成的为(C)

答案： [例1]C

【例 2】(偃师模拟)如图，CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，E 为 AC 的中点.若 AC=8，CD=5，则 DE=3.

答案： [例2]3

【例 3】如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与边 AB 和边 CD 的延长线交于点 M，N，与边 AD 交于点 E，垂足为 O.
(1)求证：△AOM≌△CON；
(2)若 AB=3，AD=6，求 AE 的长.

答案： [例3]
(1)证明：
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO,∠AOM=∠CON=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD.
∴∠M=∠N.
∴△AOM≌△CON(AAS).
(2)解：连接CE.
∵MN是AC的垂直平分线，
∴CE=AE.设AE=CE=x,则DE=6 - x.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE=90°,CD=AB=3.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD^{2}+DE^{2}=CE^{2}，即3^{2}+(6 - x)^{2}=x^{2}，解得x=$\frac{15}{4}$，即AE的长为$\frac{15}{4}$.

1. (驻马店模拟)矩形、菱形都具有的性质是(B)

A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角线互相垂直且相等

答案： 1.B