《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

1. 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2. 菱形的判定定理：(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(2)四条边相等的四边形是菱形.

答案： 1 相等
2
(1)垂直
(2)相等

【例 1】已知线段 $a$，以 $a$ 为边长作菱形 $ABCD$.

答案： 作法：作线段AB=a,以点A为圆心,AB的长为半径作圆弧,在圆弧上任取一点D,分别以B,D为圆心,a的长为半径作弧,两弧相交于点C,则四边形ABCD是要求作的菱形.

【例 2】如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是边 $BC$ 上的中线，以 $AB$，$BD$ 为邻边作$□ ABDE$，连接 $EC$，当$\angle BAC = 90^{\circ}$时，求证：四边形 $ADCE$ 为菱形.

答案： 证明：
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD,AE//BD,AB//DE.
∵AD是边BC上的中线,
∴BD=CD,
∴CD=AE,且AE//CD,
∴四边形AECD是平行四边形.
∵AB//DE,∠BAC=90°,
∴∠COD=∠BAC=90°,即AC⊥DE.
∴平行四边形ADCE是菱形.

【例 3】如图，等腰梯形 $ABCD$ 的两条对角线 $AC = BD$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是边 $AB$，$BC$，$CD$，$AD$ 的中点，求证：四边形 $EFGH$ 是菱形.

答案： 证明：
∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,AD的中点,
∴EF是△ABC的中位线,FG是△BCD的中位线,
GH是△ADC的中位线,EH是△ABD的中位线.
∴$EF= \frac{1}{2}AC,FG= \frac{1}{2}BD,GH= \frac{1}{2}AC,EH= \frac{1}{2}BD.$
答案
又
∵AC=BD,
∴EF=FG=GH=EH.
∴四边形EFGH是菱形.

1. (濮阳模拟)如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，添加下列条件后仍不能判定平行四边形 $ABCD$ 是菱形的为(B)

A.$AB = AD$
B.$AB\perp AD$
C.$\angle BAC = \angle DAC$
D.$AC\perp BD$

答案： 1 B