《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

1. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中， $ \angle C = 90^{\circ} $， $ \cos A = \frac{1}{4} $，则下列各式正确的是(C)

A.$ AB = 4BC $
B.$ AC = 4BC $
C.$ AB = 4AC $
D.$ BC = 4AC $

答案： 1.C

2. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中， $ \angle C = 90^{\circ} $， $ AC = \sqrt{2} $， $ AB = \sqrt{10} $，则下列结论正确的是(B)

A.$ \sin B = \frac{2\sqrt{5}}{5} $
B.$ \cos A = \frac{\sqrt{5}}{5} $
C.$ \tan B = 2 $
D.$ \tan A = \frac{1}{2} $

答案： 2.B

3.(天津中考) $ \sin 45^{\circ} + \frac{\sqrt{2}}{2} $ 的值等于(B)

A.$ 1 $
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ 2 $

答案： 3.B

4. 下列计算错误的是(A)

A.$ \sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ} = \sin 30^{\circ} $
B.$ \sin^{2} 45^{\circ} + \cos^{2} 45^{\circ} = 1 $
C.$ \tan 60^{\circ} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} $
D.$ \tan 30^{\circ} · \tan 60^{\circ} = 1 $

答案： 4.A

5. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中， $ \angle C = 90^{\circ} $， $ AB = 4 $， $ BC = 2\sqrt{3} $，则 $ \sin \frac{A}{2} = $$\frac{1}{2}$。

答案： 5.$\frac{1}{2}$

6.（广安中考）计算： $ -1^{2024} + (-\frac{\sqrt{2}}{2})^{0} - 2\cos 60^{\circ} + |\sqrt{5} - 3| $。

答案： 6.$2-\sqrt{5}$

7. 如图，在 $ 4 × 5 $ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 $ 1 $， $ \triangle ABC $ 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么 $ \sin \angle ACB $ 的值为(D)

A.$ \frac{3\sqrt{5}}{5} $
B.$ \frac{\sqrt{17}}{5} $
C.$ \frac{3}{5} $
D.$ \frac{4}{5} $

答案： 7.D

8.(深圳中考)如图，在 $ \triangle ABC $ 中， $ AB = AC $， $ \tan B = \frac{3}{4} $， $ D $ 为 $ BC $ 上一动点，连接 $ AD $，将 $ \triangle ABD $ 沿 $ AD $ 翻折得到 $ \triangle ADE $， $ DE $ 交 $ AC $ 于点 $ G $， $ GE ＜ DG $，且 $ AG : CG = 3 : 1 $，则 $ \frac{S_{\triangle AGE}}{S_{\triangle ADG}} = $$\frac{49}{75}$。

答案： 8.$\frac{49}{75}$

9. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用 $ 4 $ 个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就。如图，已知大正方形 $ ABCD $ 的面积是 $ 100 $，小正方形 $ EFGH $ 的面积是 $ 4 $，那么 $ \tan \angle ADF = $$\frac{3}{4}$。

答案： 9.$\frac{3}{4}$

10.（上海中考）如图，已知 $ \triangle ABD $ 中， $ AC \perp BD $， $ BC = 8 $， $ CD = 4 $， $ \cos \angle ABC = \frac{4}{5} $， $ BF $ 为 $ AD $ 边上的中线。
（1）求 $ AC $ 的长；
（2）求 $ \tan \angle FBD $ 的值。

答案： 10.
(1)6.
(2)$\frac{3}{10}$.