《2025年新学案同步导与练九年级数学全一册北师大版》

1. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是(C)

A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是不是$90^{\circ}$
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等

答案： 1C

2. 已知平行四边形$ABCD$，下列条件：①$AB = BC$；②$AC = BD$；③$AC \perp BD$；④$AC$平分$\angle BAD$。其中能说明平行四边形$ABCD$是矩形的是(B)

A.①
B.②
C.③
D.④

答案： 2B

3. 如图，为了检查形状为平行四边形的书架$ABCD$的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线$AC$，$BD$的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，工人这样判断的主要依据是对角线相等的平行四边形是矩形。

答案： 3对角线相等的平行四边形是矩形

4. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，点$E$，$F$在$BD$上，且$BE = DF$，连接$AE$，$EC$，$CF$，$FA$。下列条件能判定四边形$AECF$为矩形的是(B)

A.$OE = BE$
B.$AC = 2OE$
C.$AE = AF$
D.$AC \perp BE$

答案： 4B

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$。将$\triangle ABC$沿着$BC$方向平移得到$\triangle DEF$，其中点$E$在边$BC$上，$DE$与$AC$相交于点$O$。连接$AE$，$DC$，$AD$，当点$E$为线段BC的中点时，四边形$AECD$为矩形。

答案： 5线段BC的中点

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的中线，$E$，$G$分别是$AC$，$DC$的中点，$F$为$DE$延长线上的点，$\angle FCA = \angle CEG$。
（1）求证：$AD // CF$；
（2）求证：四边形$ADCF$为矩形。

答案： 6证明：
(1)
∵E,G分别是AC,DC中点，
∴EG//AD.
∵∠FCA=∠CEG,
∴EG//CF.
∴AD//CF.
(2)
∵AD//CF,
∴∠DAC=∠ECF.
∴△ADE≌△CFE(ASA).
∴DE=EF.
∵AE=CE,DE=EF,
∴四边形ADCF为平行四边形.
∵AB=AC,AD是BC边上的中线，
∴AD⊥CD.
∴平行四边形ADCF为矩形.

7. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$E$，$F$分别为$OB$，$OD$的中点，延长$AE$至点$G$，使$EG = AE$，连接$CG$。当$AB$与$AC$满足AC=2AB时，四边形$EGCF$是矩形。

答案： 7AC=2AB

（六盘水中考）如图，在平行四边形$ABCD$中，$AE$平分$\angle BAC$，$CF$平分$\angle ACD$。
（1）求证：$\triangle ABE \cong \triangle CDF$。
（2）当$\triangle ABC$满足什么条件时，四边形$AECF$是矩形？请写出证明过程。

答案： （六盘水中考）
(1)证明：在▱ABCD中,AB=CD,AB//CD,
∠B=∠D,
∴∠BAC=∠ACD.
∵AE平分∠BAC,CF平分∠ACD,
∴$∠BAE=∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC,$
$∠DCF=∠ACF=\frac{1}{2}∠ACD.$
∴∠BAE=∠DCF,
∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)解：当△ABC满足AB=AC时，四边形AECF是矩形.
证明：由
(1)可知,∠CAE=∠ACF,
∴AE//CF.
∵△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AB=AC,AE平分∠BAC,
∴AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.