《2025年自主学习能力测评单元测试八年级数学上册人教版A版》

21. （10分）如图17，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
（1）求证△BDE≌△CDF.
（2）若∠A=60°，BE=1，求AC的长.

答案： 21.
(1)
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED = ∠CFD = 90°。又
∵AB = AC,
∴∠B = ∠C。又
∵D为BC边的中点，
∴BD = CD。在△BDE和△CDF中，
$\begin{cases}$
∠BED = ∠CFD, \\
∠B = ∠C, \\
BD = CD,
$\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(AAS)
(2)
∵AB = AC,∠A = 60°,
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B = 60°。
∵∠BED = 90°,
∴∠BDE = 30°,
∴BD = 2BE = 2×1 = 2,
∴BC = 2BD = 4,
∴AC = BC = 4

22. (12分)

探索两边分别相等，其中一组等边的对角都是钝角且相等时，两个三角形全等.
如图18所示，∠A为钝角，用尺规作∠MA'N=∠A，在射线A'N上作A'C'=AC，以C'为圆心，CB的长为半径画弧，与A'M交于点B'，连接C'B'，得到△A'B'C'.通过作图可知∠C'A'B'=∠CAB，C'A'=CA，C'B'=CB.
下面是证明△ABC≌△A'B'C'的思路：
①如图19，过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D，过点C'作C'D'⊥A'B'交B'A'的延长线于点D'；
②证△CAD≌△C'A'D'可得CD=C'D'；
③证Rt△CBD≌Rt△C'B'D'可得∠B=∠B'；
④证△CAB≌△C'A'B'.
(1)填空：上述思路②中，证明三角形全等的依据是AAS(填符号简写形式).
(2)补全证明：请你在上述思路①②③的前提下，补充第④部分的证明过程.
(3)判断：
①两边分别相等，其中一组等边的对角都是锐角且相等时，两个三角形全等；
②两边分别相等，其中一组等边的对角都是直角时，两个三角形全等.
上面两种说法，②说法正确.(直接写序号，不必证明)

答案：
22.
(1)AAS
(2)在△CAB和△C'A'B'中,
$\begin{cases}$
∠CAB = ∠C'A'B', \\
∠B = ∠B', \\
CA = C'A',
$\end{cases}$
∴△CAB≌△C'A'B'(AAS)
(3)② 提示：①两边分别相等，其中一组等边的对角都是锐角且相等时，两个三角形不一定全等；在△ABC和△DEF中，AB = DE,AC = DF,∠B = ∠E ＜ 90°,如答图14，通过作图，可知△ABC与△DEF不一定全等。②两边分别相等，其中一组等边的对角都是直角时，两个三角形全等；在△ABC和△DEF中，AB = DE,AC = DF,∠B = ∠E = 90°,如答图15，Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)

23. （12分）已知△ABC是等边三角形，点D在边BC上.
【基本图形】（1）如图20，以AD为一边作等边△ADE，连接CE.可得CE+CD=AC，说明理由.
【迁移运用】（2）如图21，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边△DEF.求证CE+CD=CF.
【类比探究】（3）如图22，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边△DEF.直接写出线段CE，CD，CF之间的数量关系，不需证明.

答案：
23.
(1)
∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AC = AB = CB,∠CAB = 60°,AD = AE,∠DAE = 60°,
∴∠CAE = ∠DAE - ∠CAD = 60° - ∠CAD,∠BAD = ∠CAB - ∠CAD = 60° - ∠CAD,
∴∠CAE = ∠BAD。在△BAD与△CAE中，
$\begin{cases}$
AB = AC, \\
∠BAD = ∠CAE, \\
AD = AE,
$\end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD = CE,
∴CE + CD = BD + CD = CB。
∵AC = CB,
∴CE + CD = AC
(2)过点D作DG//AB,交AC于点G,如答图16。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB = ∠A = ∠B = 60°。
∵DG//AB,
∴∠CGD = ∠A = 60°,∠CDG = ∠B = 60°。又
∵∠ACB = 60°,
∴△CDG是等边三角形，
∴CD = DG = CG。
∵△DEF是等边三角形，
∴DE = DF,∠EDF = 60°。
∵∠CDE = ∠CDG - ∠EDG = 60° - ∠EDG,∠GDF = ∠EDF - ∠EDG = 60° - ∠EDG,
∴∠CDE = ∠GDF。在△CDE与△GDF中，
$\begin{cases}$
DC = DG, \\
∠CDE = ∠GDF, \\
DE = DF,
$\end{cases}$
∴△CDE≌△GDF(SAS),
∴CE = GF,
∴CE + CD = GF + CG = CF
(3)CD + CF = CE