《2025年自主学习能力测评单元测试八年级数学上册人教版A版》

22.(12分)我们知道根据几何图形的面积关系可以说明一些等式成立.
例如:如图3,这个图形的面积可以用代数式2x(x十y)表示,也可以用代数式2x²+
2xy表示,说明等式2x(x+y)=2x²+2xy成立.
即这个图形可以表示等式2x(x+y)=2x²+2xy.
根据上面的描述，回答下列问题:
(1)利用图4中边长分别为a,b的正方形,以及长为a,宽为b的长方形卡片若干张拼
成图5(卡片间不重叠、无缝隙),这个几何图形可以表示的等式是________________
______.
(2)请你设计一种拼图方案,使其可以表示等式(a+2b)(2a+b)=2a²+5ab+2b².

答案：
22.
(1)(2a + b)(a + b)=2a² + 3ab + b²
(2)(a + 2b)(2a + b)=2a² + 5ab + 2b²，如答图17所示，答案不唯一

23.(12分)综合与实践.
如图6是一个长为2a，宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然
后按图7的形状拼成一个正方形.
(1)观察图7,请你直接写出下列三个式子(a十b)²,(a一b)²,4ab之间的等量关系式:
(a + b)² = (a - b)² + 4ab.
(2)若m,n均为实数,且m十n=−2,mn=−3,运用(1)所得到的算式求m一n的值.
(3)如图8,S1,S2分别表示边长为x,y的正方形的面积,且A,B,C三点在一条直线
上,若S,+S2=20,AB=x+y=6,求图中阴影部分的面积.
(4)如图9,一农家乐准备在原有长方形用地(即长方形ABCD)上进行装修和扩建,先
用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地,再以AD,CD为边分别向外扩建
正方形ADGH、正方形DCEF两块空地,并在这两块正方形空地上建造功能性花
园,该功能性花园面积和为2000m²,求原长方形用地ABCD的面积.

答案： 23.
(1)(a + b)² = (a - b)² + 4ab.提示:
∵题图7中大正方形的边长为(a + b)，小正方形的边长为(a - b)，长方形的长为a，宽为b，
∴长方形的面积为ab，又
∵题图7中大正方形的面积 = 小正方形的面积 + 4×长方形的面积，
∴(a + b)² = (a - b)² + 4ab，故答案为(a + b)² = (a - b)² + 4ab
(2)由
(1)可知:(m + n)² = (m - n)² + 4mn，
∴(m - n)² = (m + n)² - 4mn.
∵m + n = - 2，mn = - 3，
∴(m - n)² = (- 2)² - 4×(- 3) = 16，
∴m - n = ±4
(3)依题意得S₁ = x²，S₂ = y²，AC = CD = x，CB = CF = y，
∴S阴影 = $\frac{1}{2}$CD·CB + $\frac{1}{2}$AC·CF = $\frac{1}{2}$xy + $\frac{1}{2}$xy = xy.
∵S₁ + S₂ = 20，
∴x² + y² = 20，又
∵A，B，C三点在一条直线上，AB = x + y = 6，
∴(x + y)² = 36，
∴x² + y² + 2xy = 36，
∴20 + 2xy = 36，
∴xy = 8，
∴S阴影 = xy = 8
(4)设AB = CD = xm，AD = BC = ym，
∴S长方形ABCD = AB·AD = xy.
∵长方形ABCD的周长为120m，
∴2(x + y) = 120，
∴x + y = 60，
∴(x + y)² = 3600，
∴x² + y² + 2xy = 3600.
∵正方形ADGH和正方形DCEF的面积之和为2000m²，
∴x² + y² = 2000，
∴2000 + 2xy = 3600，
∴xy = 800，
∴S长方形ABCD = xy = 800(m²)，
∴原长方形用地ABCD的面积为800m²