《2025年自主学习能力测评单元测试八年级数学上册人教版A版》

20.(10分)已知整式A=2m+1,B=2m−1,m为任意有理数.
(1)A.B+1的值可能为负数吗？说明理由.
(2)通过计算说明:当m是整数时,A2一B²的值一定能被4整除.

答案：
(1)
$A\cdot B + 1=(2m + 1)(2m - 1)+1$
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 2m$，$b = 1$，则$(2m + 1)(2m - 1)=(2m)^{2}-1^{2}=4m^{2}-1$。
所以$A\cdot B + 1=4m^{2}-1 + 1=4m^{2}$。
因为$m$为有理数，那么$m^{2}\geqslant0$，所以$4m^{2}\geqslant0$，即$A\cdot B + 1$的值不可能为负数。
(2)
$A^{2}-B^{2}=(2m + 1)^{2}-(2m - 1)^{2}$
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2m+1$，$b = 2m - 1$，则$A^{2}-B^{2}=[(2m + 1)+(2m - 1)][(2m + 1)-(2m - 1)]$。
化简得$(2m + 1+2m - 1)(2m + 1-2m + 1)=4m×2 = 8m$。
因为$m$是整数，$8m=4×(2m)$，$2m$也是整数，所以$A^{2}-B^{2}$的值一定能被$4$整除。

21.(10分)观察下列式子的因式分解做法:
①x²−1=(x−1)(x+1);
②x²−1=(x−1)(x²+x+1);
③x4−1=(x−1)(x²+x²+x+1).
(1)模仿以上做法，尝试对x5−1进行因式分解:x5−1=.
(2)观察以上结果,猜想x”−1=.(n为正整数，直接写结果，
不用验证)
(3)试求26+25+24+2”+22+2+1的值.

答案：
(1) $x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$
(2) $x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1)$
(3)
$2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1$
$= (2 - 1)(2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1)$
$= 2^7 - 1$
$= 128 - 1$
$= 127$

22.(12分)数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借
助直观、形象的几何模型来求解.下面图2中共有三种卡片:A型卡片是边长为x的正
方形;B型卡片是长为y,宽为x的长方形;C型卡片是边长为y的正方形.
(1)用1张A型卡片、2张B型卡片拼成如图3的图形,根据图3,多项式x²+2xy因式
分解的结果为.
(2)用1张A型卡片、2张B型卡片、1张C型卡片拼成一个大正方形,在下面的虚线框
中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解.
.
(3)若仍要用这3种卡片拼成一个大正方形,用1张A型卡片、4张C型卡片，求所需的
B型卡片的数量.

答案：
(1) $x(x + 2y)$
(2) 示意图：（大正方形边长为$x + y$，内部从左上角开始，顺时针依次为A型卡片（$x×x$）、B型卡片（$x×y$）、C型卡片（$y×y$）、B型卡片（$x×y$））
因式分解：$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
(3) 设所需B型卡片数量为$k$，总面积为$x^2 + kxy + 4y^2$。
因拼成大正方形，面积必为完全平方形式，设边长为$x + 2y$，则面积$(x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$，故$k = 4$。
所需B型卡片数量为$4$。