《2025年自主学习能力测评单元测试八年级数学上册人教版A版》

23.(12分)综合与探究.
教材中这样写道:“我们把a²+2ab+b²和a²−2ab+b²这样的式子叫作完全平方式”.
[方法呈现]如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式,我们常作如下变形:先添
加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种
方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不
能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最
小值等.
例1:分解因式x²+2x−3.
原式=(x²+2x+1)−4=(x+1)²−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1).
例2:求代数式x²+4x+6的最小值.
原式=x²+4x+4+2=(x+2)²+2.
∵(x+2)²≥0,
∴当x=−2时,x²+4x+6有最小值,最小值是2.
[尝试应用]用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:m²−4m−5=.
(2)若y=−x²+2x−3,当x=时,y有最(填“大"或“小”值，这个
值是.
(3)若m²+2mn+2n²−6n+9=0,则m=,n=;若x²+2y²−2xy
−4y+4=0,则xy的值为.
[拓展提升]
(4)当a,b,c分别为△ABC的三条边的长,且满足a²+b²+c²−6a−10b−6c+43=0
时,判断△ABC的形状并说明理由.

答案：
(1) $m^2 - 4m - 5 = (m^2 - 4m + 4) - 9 = (m - 2)^2 - 3^2 = (m - 2 + 3)(m - 2 - 3) = (m + 1)(m - 5)$
(2) $y = -x^2 + 2x - 3 = -(x^2 - 2x) - 3 = -[(x^2 - 2x + 1) - 1] - 3 = -(x - 1)^2 + 1 - 3 = -(x - 1)^2 - 2$，$\because -(x - 1)^2 \leq 0$，$\therefore$当$x = 1$时，$y$有最大值，最大值为$-2$
(3) $m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = (m^2 + 2mn + n^2) + (n^2 - 6n + 9) = (m + n)^2 + (n - 3)^2 = 0$，$\therefore m + n = 0$且$n - 3 = 0$，解得$n = 3$，$m = -3$；$x^2 + 2y^2 - 2xy - 4y + 4 = (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 4y + 4) = (x - y)^2 + (y - 2)^2 = 0$，$\therefore x - y = 0$且$y - 2 = 0$，解得$y = 2$，$x = 2$，$xy = 2×2 = 4$
(4) $a^2 + b^2 + c^2 - 6a - 10b - 6c + 43 = (a^2 - 6a + 9) + (b^2 - 10b + 25) + (c^2 - 6c + 9) = (a - 3)^2 + (b - 5)^2 + (c - 3)^2 = 0$，$\therefore a = 3$，$b = 5$，$c = 3$，$\because a = c$，$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形
(1) $(m + 1)(m - 5)$
(2) $1$；大；$-2$
(3) $-3$；$3$；$4$
(4) 等腰三角形，理由：由配方得$a = 3$，$b = 5$，$c = 3$，$a = c$，故$\triangle ABC$是等腰三角形。