《2025年同步练习册河北教育出版社七年级数学上册冀教版》

1. 如图,假设国际象棋棋盘上每个小方格的边长都为 1. 从国际象棋棋盘的左下角开始,取边长为 1 的正方形时包含的方格数为1,取边长为 2 的正方形时包含的方格数为4,取边长为 3 的正方形时包含的方格数为9,取边长为 $ n $ 的正方形时包含的方格数为$n^{2}$.

答案： 1，4，9，$n^{2}$

2. (1)如图,将数 $ 1 \sim 64 $ 按如图所示的方式填入国际象棋棋盘的方格中. 第 8 列第 1 个数为8,第 2 个数为16,第 $ n $ 个数为8n；第 3 列第 $ n $ 个数为8n-5.
(2)如果按这种方式,往每个格子中放入相对应数量的麦粒,那么共有小麦2080粒.

答案：
(1)8，16，8n，8n-5；
(2)2 080

3. (1)当 $ n = 1 $ 时, $ 1^{2} = $1, $ \frac{1 × (1 + 1)(2 × 1 + 1)}{6} = $1；
当 $ n = 2 $ 时, $ 1^{2} + 2^{2} = $5, $ \frac{2 × (2 + 1)(2 × 2 + 1)}{6} = $5；
当 $ n = 3 $ 时, $ 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = $14, $ \frac{3 × (3 + 1)(2 × 3 + 1)}{6} = $14；
……
你发现了什么规律？用含 $ n $ 的式子表示出你发现的规律.
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
(2)如图,如果按照如图所示的方式,往国际象棋的每个格子中放入相对应数量的麦粒,计算 64 个格子里麦粒数的总和.

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +64^{2}=\frac{64× (64+1)× (2× 64+1)}{6}=89\ 440$(粒)

答案：
(1)1，1；5，5；14，14；$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$；
(2)$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +64^{2}=\frac{64× (64+1)× (2× 64+1)}{6}=89\ 440$(粒)