《2025年同步练习册河北教育出版社七年级数学上册冀教版》

6. 概念学习：规定求若干个相同的有理数(均不等于$0$)的除法运算叫作除方，如$2÷2÷2$，$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等. 类比有理数的乘方，我们把$2÷2÷2$记作$2^{\circled{3}}$，读作“$2$的圈$3$次方”，$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$记作$(-3)^{\circled{4}}$，读作“$-3$的圈$4$次方”. 一般地，把$\underbrace{a÷a÷a÷\cdots÷a}_{n个a}(a≠0)$记作$a^{\circled{n}}$，读作“$a$的圈$n$次方”.
初步探究：
(1)直接写出计算结果：$2^{\circled{3}}=$$\frac{1}{2}$，$(-\frac{1}{2})^{\circled{3}}=$$-2$.
深入思考：
例如，$(-3)^{\circled{4}} = (-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3) = (-3)×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^2 = (\frac{1}{3})^2$.
(2)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.
$5^{\circled{6}}=$$(\frac{1}{5})^{4}$，$(-\frac{1}{2})^{\circled{6}}=$$2^{4}$.
(3)算一算：$2^2÷(-\frac{1}{3})^{\circled{4}}×(-2)^{\circled{3}} - (-\frac{1}{3})^{\circled{5}}÷3^3$.
$2^{2}÷(-\frac{1}{3})^{\circled{4}}×(-2)^{\circled{3}} - (-\frac{1}{3})^{\circled{5}}÷3^3$
$=2^{2}÷(-3)^{2}×(-\frac{1}{2})^{1}-(-3)^{3}÷27$
$=4×\frac{1}{9}×(-\frac{1}{2})+27÷27$
$=\frac{7}{9}$.

答案：
(1)$\frac{1}{2}$，-2
(2)$(\frac{1}{5})^{4}$，$2^{4}$
(3)$2^{2}÷(-\frac{1}{3})^{\circled{4}}×(-2)^{\circled{3}} - (-\frac{1}{3})^{\circled{5}}÷3^3$
$=2^{2}÷(-3)^{2}×(-\frac{1}{2})^{1}-(-3)^{3}÷27$
$=4×\frac{1}{9}×(-\frac{1}{2})+27÷27$
$=\frac{7}{9}$.

7. 如图，把一个面积为$1$的正方形等分成两个面积为$\frac{1}{2}$的长方形，接着把一个面积为$\frac{1}{2}$的长方形等分成两个面积为$\frac{1}{4}$的正方形，再把一个面积为$\frac{1}{4}$的正方形等分成两个面积为$\frac{1}{8}$的长方形. 如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5 + (\frac{1}{2})^6 + (\frac{1}{2})^7 + (\frac{1}{2})^8$.

答案： $1-(\frac{1}{2})^{8}=\frac{255}{256}$