《2025年同步练习册河北教育出版社七年级数学上册冀教版》

2. 填空题.
(1)有一组算式：$ \frac{1}{1×2} = 1 - \frac{1}{2} $,$ \frac{1}{2×3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $,$ \frac{1}{3×4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $,… 观察它们的规律,其中第 4 个式子是$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$,第 $ n $ 个式子是$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
(2)观察下列式子：①$ 1×3 + 1 = 2^{2} $,②$ 2×4 + 1 = 3^{2} $,③$ 3×5 + 1 = 4^{2} $,④$ 4×6 + 1 = 5^{5} $,… 猜想第 2020 个式子是$2020×2022+1=2021^{2}$.
(3)某计算装置有一数据输入口 A 和一个运算结果的输出口 B. 下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后所输出的相应结果. 按照这个计算装置的计算规律,若输入的数是 10,则输出的数是101.
| A | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| B | 2 | 5 | 10 | 17 | 26 | … |
(4)用小棒按照如下方式摆图形.

①已知摆 1 个八边形需要 8 根小棒,摆 2 个八边形需要15根小棒,摆 3 个八边形需要22根小棒,摆 20 个八边形需要141根小棒.
②摆 $ a $ 个八边形需要$7a+1$根小棒.
③如果有 2010 根小棒,那么可以摆287个这样的八边形.

答案： 2.
(1)$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2)$2020×2022+1=2021^{2}$
(3)101
(4)①15，22，141 ②$7a+1$ ③287

3. 阅读与观察.
$\begin{aligned}1^{2} + 3×1 + 2 &= 6 = 2×3\\2^{2} + 3×2 + 2 &= 12 = 3×4\\3^{2} + 3×3 + 2 &= 20 = 4×5\\&\vdots\end{aligned}\\&\vdots $
(1)填空.
①写出第 4 个算式：$4^{2}+3×4+2=30=5×6$.
②$10^{2}+3×10+2$$ = 132 = 11×12 $.
(2)将上面的规律用含 $ n $($ n $ 为整数,且 $ n \geq 1 $)的等式表示,并说明算式的结果为偶数.
规律为$n^{2}+3n+2=(n+1)(n+2)$．因为n为整数，且$n\geqslant1$，$n+1$，$n+2$是两个连续的自然数，则必有一个为偶数，所以$(n+1)(n+2)$为偶数．

答案： 3. 解：
(1)①$4^{2}+3×4+2=30=5×6$ ②$10^{2}+3×10+2$
(2)规律为$n^{2}+3n+2=(n+1)(n+2)$．因为n为整数，且$n\geqslant1$，$n+1$，$n+2$是两个连续的自然数，则必有一个为偶数，所以$(n+1)(n+2)$为偶数．